При каких значениях y угол между векторами a и b будет а) острый б) прямой в) тупой?

Для определения типа угла между векторами a и b, используем формулу для косинуса угла между векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{a \cdot b}}{{\lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert}}
\]

где a и b - векторы, a \cdot b - скалярное произведение векторов, \lVert a \rVert и \lVert b \rVert - длины векторов a и b соответственно.

1. Острый угол.
Угол между векторами a и b будет острым, если \(\cos(\theta) > 0\).
Пусть y - неизвестная переменная, и заданы векторы a = (3, y) и b = (2, 1).
Вычисляем скалярное произведение векторов:
a \cdot b = (3 \cdot 2) + (y \cdot 1) = 6 + y

Вычисляем длины векторов:
\lVert a \rVert = \sqrt{3^2 + y^2} = \sqrt{9 + y^2}
\lVert b \rVert = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}

Подставляем значения в формулу косинуса угла:
\cos(\theta) = \frac{{6 + y}}{{\sqrt{9 + y^2} \cdot \sqrt{5}}}

Теперь нам нужно найти значения y, при которых \cos(\theta) > 0.

2. Прямой угол.
Угол между векторами a и b будет прямым, если \(\cos(\theta) = 0\).
Подставляем значения в формулу косинуса угла:
\cos(\theta) = \frac{{6 + y}}{{\sqrt{9 + y^2} \cdot \sqrt{5}}}

Теперь нам нужно найти значения y, при которых \cos(\theta) = 0.

3. Тупой угол.
Угол между векторами a и b будет тупым, если \(\cos(\theta) < 0\).
Подставляем значения в формулу косинуса угла:
\cos(\theta) = \frac{{6 + y}}{{\sqrt{9 + y^2} \cdot \sqrt{5}}}

Теперь нам нужно найти значения y, при которых \cos(\theta) < 0.

Полученные уравнения нам позволят определить значения y, при которых угол между векторами a и b будет острым, прямым или тупым.