1) What is the lateral surface area of a cylinder with a base diameter of 12 cm and a height of 5 cm? Find the total

Добро пожаловать! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

1) Чтобы найти боковую поверхность цилиндра, нужно умножить высоту цилиндра на периметр основания. Периметр основания вычисляется по формуле \(P = 2 \pi r\), где \(r\) - радиус основания. В данной задаче у нас указано диаметр основания (12 см), поэтому радиус будет равен половине диаметра: \(r = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}\). Теперь можем найти периметр основания: \(P = 2 \pi \cdot 6 = 12 \pi \, \text{см}\). Боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты на периметр основания: \(S = 5 \cdot 12 \pi = 60 \pi \, \text{см}^2\). Ответ: боковая поверхность цилиндра равна \(60 \pi \, \text{см}^2\).

Теперь перейдем ко второй части задачи. Чтобы найти полную поверхность конуса, нужно вычислить боковую поверхность и добавить к ней площадь основания. Боковая поверхность конуса можно найти по формуле \(S_{\text{б}} = \pi r l\), где \(l\) - образующая конуса (в данном случае указана "slant height" - это и есть образующая). Площадь основания конуса можно найти по формуле \(S_{\text{о}} = \pi r^2\). В нашей задаче данны "slant height" (образующая) равна 10 см, а высота - 6 см. Чтобы найти радиус основания конуса, воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника: \(\sin \alpha = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\). В нашем случае у нас даны противолежащий катет (высота - 6 см) и гипотенуза (slant height - 10 см). Подставим данные в формулу: \(\sin 30^\circ = \frac{6}{10}\) и, решив уравнение, найдем значение синуса 30 градусов. Теперь можно найти радиус основания конуса, используя соотношение \(r = \frac{{l}}{{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}}\). Подставим значения: \(r = \frac{{10}}{{\sqrt{1 - \left(\frac{{6}}{{10}}\right)^2}}}\). Произведя вычисления, получим радиус основания конуса. Теперь можно найти площадь основания конуса и боковую поверхность. Ответ: площадь основания конуса и боковая поверхность конуса.

2) Для нахождения полной поверхности цилиндра нужно сложить площадь основания и боковую поверхность. Формула площади основания цилиндра: \(S_{\text{о}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус основания цилиндра. В нашей задаче у нас указан радиус (2 см), поэтому мы можем найти площадь основания: \(S_{\text{о}} = \pi \cdot 2^2 = 4 \pi \, \text{см}^2\). Боковая поверхность цилиндра можно найти высоты наперед (так как в формуле периметр основания имеется радиус): \(P = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 2 = 4 \pi \, \text{см}\). Боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты на периметр основания: \(S = 4 \pi \cdot h = 4 \pi \cdot 30 = 120 \pi \, \text{см}^2\). Ответ: полная поверхность цилиндра равна \(120 \pi \, \text{см}^2\).

3) Чтобы найти радиус основания конуса, для начала нужно написать уравнение, используя дополнительную информацию о треугольнике. Угол между образующей и радиусом основания равен 30 градусов. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известна образующая (18 см) и угол (30 градусов). Для вычисления радиуса основания, мы можем использовать тригонометрические соотношения в треугольнике. В данном случае, мы можем использовать \(\sin \alpha = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\), где у нас известны противолежащий катет (радиус) и гипотенуза (образующая), а угол \(\alpha\) - 30 градусов. Решив уравнение, найдем значение синуса 30 градусов. Затем, используя формулу \(r = \frac{{l}}{{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}}\), найдем радиус основания конуса. Подставим значения: \(r = \frac{{18}}{{\sqrt{1 - \left(\sin 30^\circ\right)^2}}}\). Произведя вычисления, получим радиус основания конуса. Ответ: радиус основания конуса.

4) Чтобы решить задачу о усеченном конусе, мы должны написать уравнение, используя известные данные. У нас даны радиусы оснований усеченного конуса (4 см и 9 см) и образующая слегка образовывает прямой угол с радиусами оснований. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты усеченного конуса. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катеты - это разница радиусов оснований (9 см - 4 см), а гипотенуза - образующая. Подставив значения, мы можем найти высоту. Затем, для нахождения площади основания нам надо воспользоваться формулой \(S_{\text{о}} = \pi r^2\), где радиус - это радиус большего основания. Подставив значение радиуса, мы можем найти площадь основания большего конуса. Для нахождения боковой поверхности усеченного конуса нужно суммировать боковую поверхность большего конуса и боковую поверхность меньшего конуса. Таким образом, мы можем использовать формулу \(S = S_{\text{б}}_1 + S_{\text{б}}_2\), где \(S_{\text{б}}_1\) - боковая поверхность большего конуса, \(S_{\text{б}}_2\) - боковая поверхность меньшего конуса. Подставив известные значения, мы можем найти сумму боковых поверхностей и получить ответ. Основание 1 и основание 2. Ответ: площадь основания большего конуса, боковая поверхность меньшего конуса и полная поверхность усеченного конуса.

Надеюсь, эти развернутые решения помогут вам лучше понять эти задачи.