1) What is the lateral surface area and total surface area of a correct four-sided pyramid with an apothem of 17

Давайте решим каждую задачу по очереди:

1) Чтобы найти площадь боковой поверхности (lateral surface area) пирамиды, нужно умножить половину периметра основания на длину бокового ребра. В данной задаче, основание пирамиды - четырехугольник, и его периметр равен сумме длин всех его сторон. Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то все стороны основания равны между собой.

Полупериметр основания (что равно четырем сторонам основания) можно найти по формуле: \( \frac{{4 \times \text{{длина стороны основания}}}}{2} \).

Принимая во внимание, что длина стороны основания равна 11, получаем: \( \text{{полупериметр}} = \frac{{4 \times 11}}{2} = 22 \).

Теперь, чтобы найти боковую поверхность, нужно умножить этот полупериметр на длину бокового ребра. В данной задаче боковое ребро представляет собой апофему, и она равна 17.

Таким образом, боковая поверхность пирамиды равна \( 22 \times 17 = 374 \) квадратных единиц.

Чтобы найти полную поверхность (total surface area) пирамиды, нужно сложить площадь основания и боковую поверхность. В данной задаче, основание представляет собой четырехугольник, поэтому его площадь можно найти, зная длину и ширину.

Учитывая, что стороны основания равны 11, апофема равна 17 и высота боковой грани равна 17, площадь основания можно найти по формуле для площади параллелограмма: \( \text{{площадь основания}} = \text{{сторона основания}} \times \text{{апофема}} = 11 \times 17 = 187 \) квадратных единиц.

Теперь сложим площадь основания и боковую поверхность: \( 187 + 374 = 561 \) квадратная единица.

Таким образом, боковая поверхность пирамиды равна 374 квадратных единиц, а полная поверхность - 561 квадратная единица.

2) Чтобы найти меньшее боковое ребро пирамиды, нужно использовать подобие треугольников. Мы знаем, что боковая грань пирамиды - это треугольник. Размер его большей стороны задан и равен 20 см. Заданы также диагонали основания: одна равна 10 см, а другая - 32 см.

Найдем отношение между сторонами двух подобных треугольников, образованных диагоналями. Оно равно отношению длин диагоналей. То есть, если \( a \) - это длина меньшей стороны бокового треугольника, а \( A \) - это длина большей стороны, то \(\frac{a}{A} = \frac{10}{32} \).

Решим это уравнение для \( a \):

\[
a = \frac{10 \times A}{32}
\]

Теперь подставим известное значение \( A \), которое равно 20 см, и решим уравнение:

\[
a = \frac{10 \times 20}{32} = \frac{200}{32} = 6.25
\]

Меньшая сторона бокового треугольника равна 6.25 см.

3) Чтобы найти длины боковых ребер пирамиды, также используем подобие треугольников. Мы знаем, что боковая грань пирамиды - это треугольник. Размеры его основания заданы: одна сторона равна 10 см, а другая - 8 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.

Найдем отношение между сторонами двух подобных треугольников, образованных высотой и стороной основания. Оно равно отношению высоты и ширины основания. То есть, если \( a \) - это длина меньшей стороны бокового треугольника, \( b \) - это длина большей стороны, а \( c \) - это высота, то \(\frac{a}{b} = \frac{c}{\text{высота}}\).

Решим это уравнение для \( a \):

\[
a = \frac{b \times c}{\text{высота}}
\]

Подставим известные значения: \( b = 10 \) см, \( c = 8 \) см, и \(\text{высота} = 16\) см:

\[
a = \frac{10 \times 8}{16} = \frac{80}{16} = 5
\]

Меньшая сторона бокового треугольника равна 5 см.