1. What is the height of the tallest Egyptian pyramid if its base is located at the center of a square with a side

1. Чтобы определить высоту самой высокой египетской пирамиды, нам необходимо использовать теорему тангенса. Дана основа пирамиды, которая расположена в центре квадрата со стороной 230 м, и тангенс угла наклона боковой грани к основанию составляет 1.2. Начнем с вычисления самого угла наклона.

Для этого воспользуемся тангенсом угла наклона:
\[\tan(\theta) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{смежная сторона}}}}\]
где \(\theta\) - угол наклона, противоположная сторона - высота пирамиды, а смежная сторона - половина стороны основания.

Подставив известные значения, мы получим:
\[1.2 = \frac{{h/2}}{{230/2}}\]
\[1.2 = \frac{{h}}{{230}}\]

Теперь решим уравнение относительно \(h\):
\[h = 1.2 \times 230\]
\[h = 276\]

Высота самой высокой египетской пирамиды составляет 276 м.

2. Чтобы определить площадь боковой поверхности четырехгранной пирамиды, необходимо знать угол между боковым ребром и плоскостью основания, а также длину ребра основания. У нас дано, что латеральное ребро образует угол 45° с плоскостью основания, а длина стороны основания равна \(a\).

Формула для площади боковой поверхности пирамиды:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота боковой грани}\]

Поскольку у нас четырехгранная пирамида с квадратным основанием, периметр основания равен четырем длинам его сторон, то есть \(4a\). Высота боковой грани будет равна проекции латерального ребра на плоскость основания, которая будет равна \(a \times \sin(45°)\).

Подставив известные значения в формулу, мы получаем:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 4a \times a \times \sin(45°)\]
\[S_{\text{бок}} = 2a^2 \times \sin(45°)\]

3. Для расчета полной поверхности пирамиды нам также понадобится знать периметр основания и высоту. У нас дана регулярная треугольная пирамида с апофемой 4 см и углом между апофемой и высотой пирамиды.

Периметр основания регулярной треугольной пирамиды можно найти с помощью формулы:
\[P_{\text{осн}} = 3 \times \text{сторона основания}\]

Высота пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора:
\[h = \sqrt{\text{апофема}^2 - \text{высота}^2}\]

Затем, площадь основания можно найти через формулу для площади треугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема}\]

Полная площадь пирамиды складывается из площади основания и площади всех боковых треугольников:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + 3 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{сторона основания} \times \text{высота}\right)\]

Подставив известные значения и решив уравнения, мы найдем полную площадь поверхности пирамиды. Угол между апофемой и высотой пирамиды не указан в задаче, поэтому его значение нужно предоставить.