1) What are the probabilities that the shooter hits the target on the 1st, 2nd, and 3rd shot, given that they have

Задача 1: Вероятность попадания стрелка в мишень после каждого выстрела будет зависеть от количества оставшихся пуль и от вероятности попадания при каждом выстреле.

Дано:
- Количество пуль у стрелка: 4
- Вероятность попадания в мишень при первом выстреле: 0.8

Вероятность попадания в мишень после первого выстрела будет составлять 0.8. Таким образом, вероятность промаха при первом выстреле равна 1 минус вероятность попадания, то есть 0.2.

После первого выстрела у стрелка остаются 3 пули. Так как вероятность попадания в мишень не меняется, вероятность попадания в мишень после второго выстрела также будет 0.8. Аналогично, вероятность промаха при втором выстреле будет 0.2.

После второго выстрела у стрелка остается 2 пули. Вероятность попадания в мишень после третьего выстрела будет также равна 0.8, а вероятность промаха - 0.2.

Теперь рассмотрим вероятность промаха при каждом выстреле. Чтобы стрелок не попал в мишень ни разу, необходимо, чтобы все выстрелы были промахами. Вероятность этого равна произведению вероятностей промаха при каждом выстреле.

Вероятность промаха при первом выстреле: 0.2
Вероятность промаха при втором выстреле: 0.2
Вероятность промаха при третьем выстреле: 0.2

Таким образом, вероятность того, что стрелок не попадет ни разу, составит:
\[0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008\] или 0.8%.

Чтобы найти наиболее вероятное количество выстрелов, которое стрелок сделает до попадания в мишень, мы должны рассмотреть все возможные варианты:
- 1 выстрел: вероятность попадания 0.8, вероятность промаха 0.2
- 2 выстрела: вероятность попадания-промах 0.8 x 0.2, вероятность промаха-попадание 0.2 x 0.8, вероятность промаха-промах 0.2 x 0.2
- 3 выстрела: вероятность попадания-промах-промах 0.8 x 0.2 x 0.2, вероятность промаха-попадание-промах 0.2 x 0.8 x 0.2, вероятность промаха-промах-попадание 0.2 x 0.2 x 0.8, вероятность промаха-промах-промах 0.2 x 0.2 x 0.2

Теперь суммируем вероятности для каждого количества выстрелов:
1 выстрел: 0.8
2 выстрела: 0.8 x 0.2 + 0.2 x 0.8 + 0.2 x 0.2 = 0.32
3 выстрела: 0.8 x 0.2 x 0.2 + 0.2 x 0.8 x 0.2 + 0.2 x 0.2 x 0.8 + 0.2 x 0.2 x 0.2 = 0.096

Наиболее вероятное количество выстрелов до попадания в мишень - 1.

Таким образом:

Вероятность попадания на первом выстреле: 0.8
Вероятность попадания на втором выстреле: 0.8
Вероятность попадания на третьем выстреле: 0.8
Вероятность промаха при каждом выстреле: 0.2
Вероятность, что стрелок не попадет ни разу: 0.008 или 0.8%
Наиболее вероятное количество выстрелов до попадания: 1

Задача 2: Для определения закона распределения вероятности для случайной величины "x" - количество дефективных изделий из 3 произведенных, нужно рассмотреть все возможные значения "x" (0, 1, 2, 3) и вычислить вероятность каждого значения.

Задано:
- Вероятность дефекта для одного изделия: 0.3

Чтобы найти вероятность для каждого значения "x", мы будем использовать биномиальный закон распределения, так как у нас есть два исхода - дефективное или недефективное изделие, и независимые испытания - производство каждого изделия.

Формула для биномиального распределения:
\[P(x) = C(n, x) \cdot p^x \cdot (1 - p)^{n-x}\]

Где:
- \(P(x)\) - вероятность значения "x"
- \(C(n, x)\) - количество сочетаний из n по x (можно вычислить с помощью формулы \(\frac{n!}{x!(n-x)!}\))
- \(p\) - вероятность дефекта в одном изделии
- \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае - количество произведенных изделий)

Рассмотрим каждое значение "x" от 0 до 3:

Для \(x = 0\):
\(P(0) = C(3, 0) \cdot 0.3^0 \cdot (1 - 0.3)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.7^3 = 0.7^3 = 0.343\)

Для \(x = 1\):
\(P(1) = C(3, 1) \cdot 0.3^1 \cdot (1 - 0.3)^{3-1} = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.7^2 = 0.441\)

Для \(x = 2\):
\(P(2) = C(3, 2) \cdot 0.3^2 \cdot (1 - 0.3)^{3-2} = 3 \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^1 = 0.189\)

Для \(x = 3\):
\(P(3) = C(3, 3) \cdot 0.3^3 \cdot (1 - 0.3)^{3-3} = 1 \cdot 0.3^3 \cdot 1 = 0.027\)

Таким образом, закон распределения вероятности для случайной величины "x" будет следующим:
\[P(0) = 0.343, P(1) = 0.441, P(2) = 0.189, P(3) = 0.027\]

Это означает, что вероятность получить 0 дефективных изделий при производстве 3-х изделий составляет 0.343, вероятность получить 1 дефективное изделие - 0.441, вероятность получить 2 дефективных изделия - 0.189 и вероятность получить 3 дефективных изделия - 0.027.