1. Выясните связь между стоимостью грузовых автоперевозок Y (тыс. руб.), весом груза X1 (тонн) и расстоянием

Задача 1:
Для начала, нам необходимо проанализировать таблицу, чтобы выяснить связь между стоимостью грузовых автоперевозок Y, весом груза X1 и расстоянием X2 для 20 компаний перевозки.

$$\text{Unknown environment '{array}'}$$

Для определения связей воспользуемся коэффициентом корреляции Пирсона.

Парный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

$$r_{XY}=\frac{\sum ((X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}))}{\sqrt{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2}}$$

Частный коэффициент корреляции рассчитывается путем исключения третьей переменной из анализа и вычисляется аналогично парному коэффициенту корреляции.

Воспользуемся табличным методом для вычисления всех коэффициентов корреляции.

$$\text{Unknown environment '{array}'}$$

Теперь, используя данные из таблицы, сможем вычислить парные и частные коэффициенты корреляции.

Для парного коэффициента корреляции между Y и X1:

$$\text{Unknown environment '{align*}'}$$

Для парного коэффициента корреляции между Y и X2:

$$\text{Unknown environment '{align*}'}$$

Для частного коэффициента корреляции между Y и X1 при фиксированном X2:

$$\text{Unknown environment '{align*}'}$$

Для частного коэффициента корреляции между Y и X2 при фиксированном X1:

$$\text{Unknown environment '{align*}'}$$

Для того чтобы проверить значимость коэффициентов корреляции, воспользуемся статистической гипотезой. Нулевая гипотеза H0 утверждает, что коэффициент корреляции равен нулю, а альтернативная гипотеза H1 утверждает, что коэффициент корреляции отличен от нуля. Для определения значимости коэффициентов корреляции нам понадобятся критические значения коэффициента корреляции при заданном уровне значимости, например, 0.05.

Затем для каждого коэффициента рассчитаем статистику t и сопоставим ее с критическим значением t. Если значение t больше критического значения, то мы можем отклонить нулевую гипотезу и заключить, что коэффициент корреляции значим.

Также рассчитаем коэффициент детерминации $R^2$ для регрессии Y на X1 и X2, чтобы определить, насколько хорошо модель объясняет изменение стоимости грузовых автоперевозок.

Для вычисления коэффициента $R^2$ воспользуемся формулой:

$$R^2=\frac{\text{{Explained variation}}}{\text{{Total variation}}}=\frac{SSR}{SST}$$

где $SSR=\sum (\widehat{Y_i}-\bar{Y}{)}^2$ - объясненная сумма квадратов, $SST=\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2$ - общая сумма квадратов.

После проверки значимости и расчета коэффициента детерминации, мы сможем сделать соответствующие выводы на основе полученных результатов.

Задача 2:
Для построения графиков, отображающих зависимость стоимости грузовых автоперевозок от веса груза и расстояния, мы используем диаграмму рассеяния. На графике по оси X отложим вес груза X1, а по оси Y - стоимость грузовых автоперевозок Y. Также построим второй график с осью Y - стоимость грузовых автоперевозок Y и осью X - расстояние X2.

Графики позволят нам визуально оценить связь между переменными и определить, есть ли линейная зависимость.

Задача 3:
Для оценки параметров модели множественной регрессии и записи уравнения регрессии, воспользуемся методом наименьших квадратов.

Модель множественной регрессии имеет вид:

$$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\dots +{\beta }_n{X}_n+\epsilon$$

где Y - стоимость грузовых автоперевозок, $X_1,X_2,\dots ,X_n$ - объясняющие переменные, а $\epsilon$ - случайная ошибка.

Оценки параметров ${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ можно получить с помощью метода наименьших квадратов.

Уравнение регрессии примет вид:

$$Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X1+{\beta }_{2}X2$$

где ${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2$ - оценки параметров.

Для интерпретации полученных значений параметров, мы можем рассмотреть их в контексте задачи и переменных. Например, коэффициент ${\beta }_0$ - это свободный член уравнения регрессии, который может отражать базовую стоимость грузовых автоперевозок. Коэффициенты ${\beta }_1$ и ${\beta }_2$ отражают, насколько изменяется стоимость грузовых автоперевозок при изменении веса груза и расстояния соответственно.

Задача 4:
Для расчета совокупных коэффициентов корреляции нам необходимо воспользоваться формулами, которые зависят от типа данных и их количества. В данном случае, подразумевается, что речь идет о коэффициентах корреляции Пирсона.

Совокупный коэффициент корреляции вычисляется по следующей формуле:

$$R=\frac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{X}{)}^2\sum (y_i-\bar{Y}{)}^2}}$$

где $X_i$ и $Y_i$ - значения переменных в выборке, $\bar{X}$ и $\bar{Y}$ - их средние значения.

Однако, без значений переменных и выборки 20 компаний перевозок, невозможно точно рассчитать совокупные коэффициенты корреляции. Если у вас есть эти данные, пожалуйста, предоставьте их, и я смогу помочь вам с расчетом.