Какова площадь впрямоугольного треугольника, если сумма длин катетов составляет 18 см, а длина гипотенузы равна

Давайте решим данную задачу пошагово.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором сумма длин катетов равна 18 см, а длина гипотенузы равна 16 см. По определению прямоугольного треугольника, катеты являются его сторонами, образующими прямой угол, и гипотенуза является противоположной стороной прямого угла.

Давайте обозначим длину первого катета как \(x\), а длину второго катета как \(y\).

Мы знаем, что сумма длин катетов составляет 18 см, поэтому у нас есть уравнение:

\[x + y = 18\]

Мы также знаем, что длина гипотенузы равна 16 см, поэтому у нас есть уравнение по теореме Пифагора:

\[x^2 + y^2 = 16^2\]

Теперь воспользуемся первым уравнением и выразим одну из переменных через другую. Давайте решим уравнение на \(x\):

\[x = 18 - y\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[(18 - y)^2 + y^2 = 256\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[324 - 36y + y^2 + y^2 = 256\]

\[2y^2 - 36y + 68 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\). Решим его с помощью метода дискриминанта.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, у нас есть \(a = 2\), \(b = -36\), и \(c = 68\). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[D = (-36)^2 - 4(2)(68)\]

\[D = 1296 - 544\]

\[D = 752\]

Теперь, с помощью дискриминанта, мы можем определить, как решить наше квадратное уравнение.

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае, \(D = 752 > 0\), поэтому у нас есть два различных корня.

Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставим значения \(a = 2\), \(b = -36\), и \(D = 752\) в формулу:

\[y = \frac{{-(-36) \pm \sqrt{752}}}{{2(2)}}\]

\[y = \frac{{36 \pm \sqrt{752}}}{{4}}\]

\[y = \frac{{36 \pm 8\sqrt{47}}}{{4}}\]

\[y = 9 \pm 2\sqrt{47}\]

Теперь у нас есть два значения для \(y\), то есть две возможные длины катетов. Давайте обозначим эти значения как \(y_1\) и \(y_2\):

\[y_1 = 9 + 2\sqrt{47}\]

\[y_2 = 9 - 2\sqrt{47}\]

Теперь, используя первое уравнение \(x + y = 18\), мы можем определить соответствующие значения для \(x_1\) и \(x_2\):

\[x_1 = 18 - y_1\]

\[x_2 = 18 - y_2\]

Теперь у нас есть две пары значений для \(x\) и \(y\), то есть две возможные комбинации длин катетов.

Наконец, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\]

В нашем случае, один из катетов будет основанием, а другой катет будет высотой. Так как прямоугольный треугольник, то каждая из комбинаций длин катетов может служить основанием и высотой, поэтому у нас есть два возможных значения площади:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot x_1 \cdot y_1\]

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot x_2 \cdot y_2\]

Остается только подставить найденные значения \(x_1\), \(x_2\), \(y_1\), и \(y_2\) в формулы площади, и мы получим решение задачи.

Таким образом, площадь впрямоугольного треугольника составляет \(\frac{1}{2} \cdot x_1 \cdot y_1\) или \(\frac{1}{2} \cdot x_2 \cdot y_2\), где \(x_1 = 18 - (9 + 2\sqrt{47})\), \(y_1 = 9 + 2\sqrt{47}\), \(x_2 = 18 - (9 - 2\sqrt{47})\), и \(y_2 = 9 - 2\sqrt{47}\). Вычислив эти значения, можно получить окончательный ответ.