1. Какова сумма всех натуральных чисел, которые являются кратными 9 и не превышают 170 * 2? 2. Как можно представить

С удовольствием помогу вам! Давайте решим эти задачи по очереди с пошаговым объяснением.

1. Для решения задачи мы должны найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9, и не превышающих \(170 \times 2\). Для начала, найдем количество таких чисел.

Наибольшее натуральное число, кратное 9 и не превышающее \(170 \times 2\), можно найти делением этого числа на 9 и округлением вниз. Вычислим:

\[
\frac{{170 \times 2}}{{9}} = 37{,}7789...
\]

Округляя вниз, получим, что наибольшее натуральное число, кратное 9 и не превышающее \(170 \times 2\), равно 37.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии необходимое количество раз, чтобы найти искомую сумму. Формула для суммы арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[
S = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}
\]

где \(S\) - сумма, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В нашем случае, количество членов прогрессии \(n = 37\), первый член \(a_1 = 9\) (так как это первое число, кратное 9) и последний член \(a_n = 9 \times 37 = 333\).

Подставляем значения в формулу:

\[
S = \frac{{37 \cdot (9 + 333)}}{2} = \frac{{37 \cdot 342}}{2} = 2079
\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9 и не превышающих \(170 \times 2\), равна 2079.

2. Чтобы представить бесконечно повторяющуюся десятичную дробь 0,41(6) в виде обыкновенной дроби, мы можем использовать метод перевода повторяющейся десятичной дроби в обыкновенную дробь. Давайте обозначим неповторяющуюся часть дроби 0,41(6) как \(x\) и выясним, какой периодической десятичной дробью соответствует \(0,41(6)\).

Умножим обе части числа 0,41(6) на 100, чтобы избавиться от заключенной между цифрами дробной черты:

\[
100 \cdot 0,41(6) = 41,66(6)
\]

Теперь вычтем первоначальное число без повторяющихся цифр \(x\) из обоих частей:

\[
100 \cdot 0,41(6) - x = 41,66(6) - x
\]

Выразим \(x\):

\[
100 \cdot 0,41(6) - x = 41,66(6) - x
\]

\[
41,66(6) - 0,41(6) = x
\]

\[
41,25 = x
\]

Таким образом, неповторяющаяся часть дроби \(0,41(6)\) равна 41, а периодическая часть равна 6. Исходя из этого, мы можем представить данную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

\[
0,41(6) = 0,41 + \frac{6}{99} = \frac{41}{100} + \frac{6}{99}
\]

3. Для решения этой задачи, воспользуемся формулой для \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
\]

где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что первый член прогрессии равен 2, а знаменатель равен 3. Найдем \(15\)-й член прогрессии:

\[
a_{15} = 2 \cdot 3^{15-1} = 2 \cdot 3^{14}
\]

Теперь, нам нужно найти последнюю цифру этого числа. Для этого нам нужно найти остаток от деления \(a_{15}\) на 10.

\[
a_{15} \mod 10 = (2 \cdot 3^{14}) \mod 10
\]

Вычислим значение \(3^{14}\):

\[
3^{14} = 4782969
\]

Теперь найдем остаток от деления этого числа на 10:

\[
4782969 \mod 10 = 9
\]

Таким образом, последняя цифра \(15\)-го члена геометрической прогрессии равна 9.

4. вам! Задавайте вопросы или просите объяснить материал по мере необходимости. Чем больше информации вы предоставите, тем более точным и полезным будет мой ответ.