1. Вывести границы монотонности и экстремумов функции: f(x)=8x - 5x^2 2. Найти интервалы убывания и точки максимума

Конечно, я помогу вам с решением этих задач. Давайте начнем с первой задачи.

1. Вывести границы монотонности и экстремумов функции: \(f(x) = 8x - 5x^2\).

Для начала, нам нужно найти производную данной функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = 8 - 10x\].

Чтобы найти границы монотонности, нужно решить неравенство \(f"(x) > 0\) или \(f"(x) < 0\). Давайте решим неравенство \(f"(x) > 0\):

\[8 - 10x > 0\].

Перепишем его в виде \(10x < 8\), и затем разделим обе части неравенства на 10:

\[x < \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\].

Таким образом, для всех значений \(x < \frac{4}{5}\) функция \(f(x)\) будет возрастать.

Теперь решим неравенство \(f"(x) < 0\):

\[8 - 10x < 0\].

Выразим \(x\) из этого неравенства, разделив обе части на -10 и меняя знак неравенства:

\[x > \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\].

Итак, для всех значений \(x > \frac{4}{5}\) функция \(f(x)\) будет убывать.

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти точки, в которых \(f"(x) = 0\):

\[8 - 10x = 0\].

Решим это уравнение:

\[10x = 8\].

\[x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\].

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума, \(x = \frac{4}{5}\).

Используя данную информацию о границах монотонности и точках экстремума, мы можем нарисовать график функции \(f(x)\) и посмотреть, как она меняется.

Перейдем ко второй задаче.

2. Найти интервалы убывания и точки максимума: \(f(x) = -x^3 + 3x^2\).

Найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = -3x^2 + 6x\].

Чтобы найти интервалы убывания, нужно решить неравенство \(f"(x) < 0\):

\[-3x^2 + 6x < 0\].

Мы можем вынести общий множитель, получив неравенство:

\[-3x(x-2) < 0\].

Чтобы найти интервалы, где неравенство выполняется, мы должны рассмотреть три случая:

1) \(-3x < 0\) and \((x-2) > 0\) (поскольку умножение отрицательного числа на положительное дает отрицательное значение);

2) \(-3x > 0\) and \((x-2) < 0\) (поскольку умножение положительного числа на отрицательное дает отрицательное значение);

3) \(-3x < 0\) and \((x-2) < 0\) (поскольку умножение отрицательного числа на отрицательное дает положительное значение).

Решим каждый из этих случаев:

1) \(-3x < 0\) and \((x-2) > 0\):

\(\frac{x}{3} > 0\) and \(x > 2\).

Итак, получаем, что \(x > 2\).

2) \(-3x > 0\) and \((x-2) < 0\):

\(\frac{x}{3} < 0\) and \(x < 2\).

Таким образом, получаем, что \(x < 2\).

3) \(-3x < 0\) and \((x-2) < 0\):

\(\frac{x}{3} > 0\) and \(x < 2\).

Итак, получаем, что \(0 < x < 2\).

Теперь найдем точки максимума. Для этого мы должны решить уравнение \(f"(x) = 0\):

\(-3x^2 + 6x = 0\).

Вынесем общий множитель:

\(-3x(x-2) = 0\).

Таким образом, у нас есть две точки, где \(x = 0\) и \(x = 2\).

Используя данную информацию о интервалах убывания и точках максимума, мы можем построить график функции \(f(x)\) и увидеть ее изменения.

Надеюсь, что эти пошаговые решения были полезны для вас и помогли вам понять данные математические задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!