1. Выбери правильный вариант решения для неравенства: 2⋅log24r+5log4r−3≤0. a) r∈(−∞;2)∪(0,0156;+∞) b) r∈(2;0,0156

Задача 1: Выбери правильный вариант решения для неравенства \(2\cdot\log_{24}r+5\cdot\log_{4}r-3\leq0\).

Давайте решим это неравенство пошагово:
1. Начнем с первого слагаемого: \(2\cdot\log_{24}r\). Заметим, что \(\log_{24}r = \frac{\log r}{\log 24}\) по свойству логарифма.
Поэтому \(2\cdot\log_{24}r = 2 \cdot \frac{\log r}{\log 24}\).

2. Перейдем ко второму слагаемому: \(5\cdot\log_{4}r\). Заметим, что \(\log_{4}r = \frac{\log r}{\log 4}\).
Поэтому \(5\cdot\log_{4}r = 5 \cdot \frac{\log r}{\log 4}\).

3. Теперь объединим первые два слагаемых: \(2\cdot\log_{24}r + 5\cdot\log_{4}r\).
Получаем \(2 \cdot \frac{\log r}{\log 24} + 5 \cdot \frac{\log r}{\log 4}\).

4. Далее выразим общий знаменатель и приведем полученное уравнение к одному знаменателю: \[2 \cdot \frac{\log r}{\log 24} + 5 \cdot \frac{\log r}{\log 4} = \frac{2 \cdot \log r \cdot \log 4 + 5 \cdot \log r \cdot \log 24}{\log 4 \cdot \log 24}.\]

5. Сократим общий множитель и упростим выражение: \(\frac{2 \cdot \log r \cdot \log 4 + 5 \cdot \log r \cdot \log 24}{\log 4 \cdot \log 24} = \frac{\log r(2\log 4 + 5\log 24)}{\log 4 \cdot \log 24}\).

6. Дальше продолжим вычисления: \[2\log 4 + 5\log 24 = 2 \cdot\log 2^2 + 5\cdot\log 2^3 + 5\cdot\log 3^2 = 2\cdot2\log 2 + 5\cdot3\log 2 + 5\cdot2\log 3 = 4\log 2+15\log 2 +10\log 3 = 19\log 2 + 10\log 3.\]

7. Вернемся к исходному неравенству \(2\cdot\log_{24}r+5\cdot\log_{4}r-3\leq0\) и подставим полученное выражение: \[\frac{\log r(2\log 4 + 5\log 24)}{\log 4 \cdot \log 24} \leq 3.\]

8. Так как логарифмы находятся в знаменателе, то \(\log 4 > 0\), \(\log 2 > 0\) и \(\log 3 > 0\), поэтому знак неравенства не меняется.

9. Получаем следующее неравенство: \(\log r(19\log 2 + 10\log 3) \leq 3 \cdot \log 4 \cdot \log 24\).

10. Теперь разделим обе части неравенства на \(\log r\). Заметим, что \(\log r > 0\) для всех положительных значений \(r\), поэтому знак неравенства не меняется: \[19\log 2 + 10\log 3 \leq 3 \cdot \log 4 \cdot \log 24.\]

11. Выполним вычисления в правой части неравенства: \[3 \cdot \log 4 \cdot \log 24 = 3 \cdot \log 2^2 \cdot \log 2^3 = 3 \cdot 2\log 2 \cdot 3\log 2 = 18(\log 2)^2.\]

12. Теперь окончательно имеем: \[19\log 2 + 10\log 3 \leq 18(\log 2)^2.\]

13. Осталось выбрать правильный вариант решения из предложенных вариантов ответа.
Проведем сравнение полученного неравенства и вариантов ответа:
a) \(r\in(-\infty;2)\cup(0,0156;+\infty)\)
b) \(r\in(2;0,0156)\)
c) \(r\in[0,0156;2]\)
d) \(r\in(-\infty;2]\cup[0,0156;+\infty)\)

14. Подставим значения \(\log 2\) и \(\log 3\) в неравенство и сравним обе части:
\begin{align*}
&19 \cdot \log 2 + 10 \cdot \log 3 \leq 18(\log 2)^2\\
&19 \cdot 0,30103 + 10 \cdot 0,47712 \leq 18 \cdot (0,30103)^2\\
&5,71957 + 4,7712 \leq 18 \cdot 0,09062\\
&10,49077 \leq 1,63116.
\end{align*}

15. Видим, что полученное неравенство неверно, так как \(10,49077 > 1,63116\).
Значит, все варианты ответа неверны.

Задача 2: Решив неравенство \(\log_{0,5}(2x-7)^3\), выбери правильный ответ.

1. Начнем с данного неравенства: \(\log_{0,5}(2x-7)^3\).
Обратим внимание, что \(\log_{0,5}(2x-7)^3 = \frac{\log(2x-7)^3}{\log 0,5}\) по свойству логарифма.

2. Вспомним, что \(\log_{0,5}a = \frac{\log a}{\log 0,5}\).

3. Получаем: \(\frac{\log(2x-7)^3}{\log 0,5}\).

4. Теперь решим это неравенство.

5. Мы знаем, что логарифм отрицательного числа не существует, поэтому выражение \((2x-7)^3\) должно быть положительным или равным нулю.

6. Отсюда следует, что \((2x-7)^3 > 0\), так как логарифм положительного числа определен.

7. Чтобы найти интервалы значений x, в которых выполняется неравенство, рассмотрим знак выражения \((2x-7)^3\).

8. Заметим, что при \(2x-7 > 0\) (то есть \(x > \frac{7}{2}\)) выражение \((2x-7)^3\) будет положительным.

9. Также заметим, что при \(2x-7 = 0\) (то есть \(x = \frac{7}{2}\)) выражение \((2x-7)^3\) будет равно нулю.

10. Следовательно, рассмотрим два интервала: \(x > \frac{7}{2}\) и \(x = \frac{7}{2}\).

11. Правильный ответ: \(x\in[21,5;+\infty)\) и \(x\in(21,5;+\infty)\).

Итак, мы решили две задачи, разложив каждую из них на несколько шагов и подробно описав каждый шаг решения. Если у вас возникнут еще вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, сообщите мне. Я буду рад помочь!