1. В треугольнике с равными боковыми сторонами, чей периметр составляет 48 см, отношение длины одной боковой стороны

1. Пусть основание треугольника равно \(x\), тогда каждая из боковых сторон будет равна \(\frac{5}{2}x\). По условию задачи, периметр треугольника составляет 48 см, что означает, что сумма всех сторон равна 48 см. Таким образом, у нас есть уравнение:

\(\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}x + x = 48\)

Упрощая это уравнение, получим:

\(\frac{12}{2}x = 48\)

\(\frac{12}{2}x = 48\)

\(6x = 48\)

Теперь решим уравнение относительно \(x\):

\(x = \frac{48}{6}\)

\(x = 8\)

Таким образом, длина основания треугольника равна 8 см. Используя это значение, найдем длины боковых сторон:

\(\frac{5}{2} \cdot 8 = 20\)

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 20 см.

Ответ: длина основания треугольника равна 8 см, длина каждой из боковых сторон равна 20 см.

2. Чтобы построить точки, удаленные на четверть длины данного отрезка от его вершины, нужно сначала найти четверть длины отрезка, а затем строить точки на этом расстоянии от вершины.

3. Чтобы доказать, что углы BPM и KM равны, рассмотрим треугольники BPM и KM.

У нас есть следующая информация:
AB = BC, ZBMP = LBMK.

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, а значит, медиана BE является высотой треугольника.

Так как ZBMP = LBMK и треугольник равнобедренный, то угол BPM и угол KM равны по свойству равнобедренного треугольника.

Чтобы доказать, что прямые PK и BM перпендикулярны друг другу, рассмотрим треугольники BPM и BPK.

Мы знаем, что ZBMP = LBMK, поэтому треугольники равны по двум углам.

BPK - прямоугольный треугольник, так как угол BPK равен 90 градусов (угол на основании треугольника).

Таким образом, прямая PK (сторона прямоугольного треугольника) и прямая BM (медиана, являющаяся высотой равнобедренного треугольника) перпендикулярны друг другу.

Ответ: а) углы BPM и KM равны; б) прямые PK и BM перпендикулярны друг другу.

4. Чтобы построить угол, необходимо иметь две стороны угла и его вершину. Расскажите, какие данные вы имеете и какие стороны нужно построить, чтобы я мог дать вам пошаговое решение.