1. В треугольнике ABC с прямым углом в C и известным значением sinB=4/15 и длиной AB=45, определите длину AC

Для решения этих задач мы будем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике. Надеюсь, вы знакомы с тем, что синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяются следующими соотношениями:

\[\sin{B} = \frac{{BC}}{{AC}}\]
\[\cos{B} = \frac{{AC}}{{BC}}\]
\[\tan{B} = \frac{{BC}}{{AC}}\]

1. Для первой задачи, где известны \(\sin{B} = \frac{{4}}{{15}}\) и \(AB = 45\), нам нужно найти длину \(AC\). Используя первое соотношение, подставим известные значения:

\[\frac{{4}}{{15}} = \frac{{BC}}{{AC}}\]

Мы знаем, что угол B находится против AC, поэтому \(BC = AB = 45\). Подставим это значение:

\[\frac{{4}}{{15}} = \frac{{45}}{{AC}}\]

Теперь решим уравнение относительно \(AC\). Умножим обе части уравнения на \(AC\) и затем разделим на \(\frac{{4}}{{15}}\):

\[AC = \frac{{45 \cdot 15}}{{4}}\]

Выполнив простые вычисления, получаем:

\[AC = 168.75\]

Таким образом, длина \(AC\) равна 168.75.

2. Для второй задачи, где известны \(\cos{B} = \frac{{5}}{{12}}\) и \(AB = 60\), нам нужно найти длину \(BC\). Используя второе соотношение, подставим известные значения:

\[\frac{{5}}{{12}} = \frac{{AC}}{{BC}}\]

Мы знаем, что угол B находится против BC, поэтому \(AC = AB = 60\). Подставим это значение:

\[\frac{{5}}{{12}} = \frac{{60}}{{BC}}\]

Решим уравнение относительно \(BC\). Умножим обе части уравнения на \(BC\) и затем разделим на \(\frac{{5}}{{12}}\):

\[BC = \frac{{60 \cdot 12}}{{5}}\]

Выполнив простые вычисления, получаем:

\[BC = 144\]

Таким образом, длина \(BC\) равна 144.

3. Для третьей задачи, где известны \(\tan{B} = \frac{{7}}{{12}}\) и \(BC = 48\), нам нужно найти длину \(AC\). Используя третье соотношение, подставим известные значения:

\[\frac{{7}}{{12}} = \frac{{BC}}{{AC}}\]

Мы знаем, что угол B находится против AC, поэтому \(BC = 48\). Подставим это значение:

\[\frac{{7}}{{12}} = \frac{{48}}{{AC}}\]

Решим уравнение относительно \(AC\). Умножим обе части уравнения на \(AC\) и затем разделим на \(\frac{{7}}{{12}}\):

\[AC = \frac{{48 \cdot 12}}{{7}}\]

Выполнив простые вычисления, получаем:

\[AC \approx 82.29\]

Таким образом, длина \(AC\) примерно равна 82.29.