1. В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, длина стороны AC равна 8 см, и угол АСВ равен 45°, найдите: а) длину

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

а) Для нахождения длины стороны AB в треугольнике ABC, нам понадобится применить теорему косинусов. Эта теорема гласит, что в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин остальных двух сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, мы знаем длины сторон AC и BC, а также угол C, который равен 90°. Значит, мы можем записать следующее уравнение:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C)\]

Подставляем известные значения:

\[AB^2 = 8^2 + BC^2 - 2 \cdot 8 \cdot BC \cdot \cos(90°)\]

Так как \(\cos(90°) = 0\), упрощаем уравнение:

\[AB^2 = 64 + BC^2\]

Также из условия задачи известно, что угол АСВ равен 45°. Значит, угол B равен 45°. Заметим, что угол B в треугольнике ABC является прямым углом (угол C равен 90°). Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, гипотенуза треугольника ABC - это сторона AC, а катеты - сторона AB и сторона BC. Используем теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставляем полученное уравнение для AB^2:

\[AC^2 = 64 + BC^2 + BC^2\]

\[AC^2 = 2BC^2 + 64\]

Теперь мы имеем два уравнения:

\[AB^2 = 64 + BC^2\]
\[AC^2 = 2BC^2 + 64\]

b) Чтобы найти длину высоты CD, проведенной к гипотенузе, мы можем воспользоваться свойством прямоугольного треугольника, которое гласит, что высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных маленьких треугольника соответственно равных большому треугольнику.

Поэтому, отношение длин высоты CD к гипотенузе AC равно отношению длины катета BC к гипотенузе AC.

Получаем следующее уравнение:

\[\frac{CD}{AC} = \left(\frac{BC}{AC}\right)\]

Решим это уравнение для CD и подставим известные значения:

\[CD = AC \cdot \left(\frac{BC}{AC}\right)\]

Упрощаем:

\[CD = BC\]

Таким образом, длина высоты CD равна длине катета BC.

Итак, по сумме наших рассуждений:

а) Длина стороны AB равна \(\sqrt{64 + BC^2}\).
б) Длина высоты CD равна BC.

Для получения конкретных численных значений сторон треугольника ABC и высоты CD нам необходимо знать длину стороны BC. Если вы предоставите эту информацию, я смогу рассчитать значения ответов более точно.