1. В точках K, M и N на ребрах А1B1, B1C1 и AD куба ABCDA1B1C1D1 выбраны так, что A1K : KB1 = C1M : MB1 = DN : NA

Следуя вашим желаниям, я предоставлю вам максимально подробные и обстоятельные ответы на задачи.

1.а) Чтобы доказать, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости KMN, нам нужно проверить, что векторы \(\overrightarrow{BD1}\) и \(\overrightarrow{KN}\) ортогональны. Заметим, что вектор \(\overrightarrow{BD1}\) является диагональю грани куба, проходящей через точку B1. А поскольку этот вектор в кубе является диагональю грани, перпендикулярной грани, содержащей точку К, то он ортогонален плоскости KMN.

1.б) Чтобы найти расстояние от точки A до плоскости KMN, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости. Плоскость KMN задана тремя точками K, M и N. Для удобства запишем их координаты: K(x1, y1, z1), M(x2, y2, z2), N(x3, y3, z3). Точка A задана координатами A(x0, y0, z0).

Расстояние от точки A до плоскости KMN вычисляется по формуле:
\[d = \frac{{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости KMN. Чтобы их найти, можно взять точку K и найти нормаль к плоскости, проведя векторное произведение векторов \(\overrightarrow{KM}\) и \(\overrightarrow{KN}\).

После вычислений с координатами точек и коэффициентами, мы получим расстояние от точки A до плоскости KMN.

2.а) Чтобы доказать, что AK равно BM, нужно использовать свойство окружности, описанной около треугольника AKC. Оно утверждает, что угол внутри или внешний, составленный хордами AK и KC на окружности, равен половине центрального угла, соответствующего тому же дуге KC. Таким образом, угол AKC = угол ABC / 2 = BLK / 2.

Также, поскольку у нас есть параллельные отрезки KL и BC, мы можем сделать вывод, что угол AKL равен углу ABC. Тогда получим AKL = ABC = 2 * BLK.

Из этих двух уравнений следует, что угол AKL = 2 * угол AKC. То есть, углы, соответствующие дуге KL, равны в два раза углам, соответствующим дуге KC. Значит, дуги KL и KC имеют равные длины: KL = KC.

Таким образом, получаем AK = AB - BK = BC - KL = CM - KL = MC = BM.

2.б) Чтобы найти площадь четырехугольника AKMC, мы можем разделить его на два треугольника AKM и KMC и вычислить их площади отдельно. Зная площадь треугольника ABC равную 81 и отношение длин сторон AB и BC, мы можем найти площадь этих треугольников.

Можно найти отношение высот треугольника ABC и треугольника AKM по теореме биссектрисы, и затем использовать это отношение для расчета площади треугольника AKM.

Площадь треугольника KMC равна полупроизведению стороны KC на высоту, проведенную к стороне KC. Мы можем найти эту высоту, используя формулу для площади треугольника KMC и длину отрезка KL.

Когда мы найдем площади треугольников AKM и KMC, мы можем сложить их, чтобы получить общую площадь четырехугольника AKMC.

Высоту треугольника AKM можно найти, используя формулу Герона для площади треугольника, выраженную через длины сторон AK, KM и AM.

После всех вычислений, мы получим площадь четырехугольника AKMC.