1. В случае, если вписанный в круг правильный треугольник разделен на четыре части, каково отношение площади наибольшей

Задача 1:
Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим пошаговое решение.

Первым шагом найдем площадь правильного треугольника с длиной стороны 4√3.

Формула для площади правильного треугольника: \(S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляем значения:
\(S = \frac{{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}}{4} = \frac{{48\sqrt{3}}}{4} = 12\sqrt{3}\).

Теперь разделим треугольник на 4 части и посмотрим, какой будет отношение площадей.

Мы можем представить правильный треугольник, вписанный в круг, как треугольник с основанием, равным диаметру окружности \(d\).

Формула для диаметра окружности, вписанной в правильный треугольник: \(d = a\sqrt{3}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляем значения:
\(d = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\).

Теперь разделим треугольник на 4 части. Получаем 4 равнобедренных треугольника.

Так как радиус окружности и одна из сторон треугольника совпадают, то каждая часть будет иметь форму равнобедренного треугольника с основанием \(d\) и высотой, равной радиусу окружности.

Площадь равнобедренного треугольника: \(S = \frac{{bh}}{2}\), где \(b\) - основание, \(h\) - высота.

Подставляем значения:
\(S = \frac{{12 \cdot 12}}{2} = 72\).

Ответ: Отношение площади наибольшей из полученных частей к площади наименьшей равно \(\frac{{72}}{12\sqrt{3}}\).

Задача 2:
Для решения этой задачи также используем пошаговый подход.

Так как радиус окружности составляет 60% стороны треугольника, то длина стороны треугольника равна \(a = \frac{{100}}{60}\% = \frac{{10}}{6} = \frac{{5}}{3}\).

Это значит, что сторона треугольника равна \(\frac{{5}}{3}\).

Площадь треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}a^2}}{4}\).

Подставляем значения:
\(S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}\left(\frac{{5}}{3}\right)^2}}{4} = \frac{{\sqrt{3}\left(\frac{{25}}{9}\right)}}{4} = \frac{{25\sqrt{3}}{36}\).

Теперь рассмотрим дугу окружности, находящуюся внутри треугольника. Пусть дуга окружности составляет угол \(x\) соответствующий центральному углу на вершине треугольника.

Площадь сектора окружности: \(S_{\text{сектора}} = \frac{{xr^2}}{2}\), где \(r\) - радиус окружности.

Подставляем значения:
\(S_{\text{сектора}} = \frac{{x(0.6a)^2}}{2} = \frac{{\left(0.6\cdot\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot r^2}}{2}\).

Так как радиус окружности равен 60% стороны треугольника, то \(r = 0.6a\).

Подставляем значения:
\(S_{\text{сектора}} = \frac{{\left(0.6\cdot\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot (0.6a)^2}}{2}\).

Упрощаем выражение:
\(S_{\text{сектора}} = \frac{{0.6^2\cdot\left(\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot 0.6^2\cdot a^2}}{2} = \frac{{0.6^4\cdot\left(\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot a^2}}{2}\).

Отношение площади сектора к площади треугольника: \(\frac{{S_{\text{сектора}}}}{S_{\text{треугольника}}}\).

Подставляем значения:
\(\frac{{S_{\text{сектора}}}}{S_{\text{треугольника}}} = \frac{{\frac{{0.6^4\cdot\left(\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot a^2}}{2}}}{\frac{{25\sqrt{3}}}{36}}\).

Упрощаем выражение:
\(\frac{{S_{\text{сектора}}}}{S_{\text{треугольника}}} = \frac{{0.6^4\cdot\left(\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot a^2\cdot 36}}{{2\cdot 25\sqrt{3}}}\).

Ответ: Дуга окружности, находящаяся внутри треугольника, делит его площадь в соотношении \(\frac{{0.6^4\cdot\left(\frac{{5}}{3}\right)^2\cdot a^2\cdot 36}}{{2\cdot 25\sqrt{3}}}\).

Задача 3:
Данная задача также требует пошагового решения.

Так как АB и АС - касательные к окружности, то они равны по длине и равны радиусу окружности.

Радиус окружности: \(r = 8 \, \text{см}\).

Окружность дуга либо находится внутри треугольника, либо находится вне треугольника.

Пусть АВС - вписанный в окружность треугольник. Пусть угол ABC равен 60 градусов.

Так как АВ и АС - касательные, то углы АВС и АСВ являются прямыми углами.

Угол ASB составляет половину центрального угла AOB и равен 30 градусов.

Так как угол ABC равен 60 градусов, то угол BAC равен 180 - 30 - 60 = 90 градусов.

Треугольник ABC является прямоугольным треугольником с углом BAC, равным 90 градусов.

Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины сторон треугольника.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется соотношение \(c^2 = a^2 + b^2\).

Пусть AB = AC = x.

Применяем теорему Пифагора:
\(x^2 = (8 + 8)^2 + (AB)^2\),
\(x^2 = 16^2 + (AB)^2\).

Угол BAC равен 90 градусов, поэтому AB является диаметром окружности и равно 16 см.

Подставляем значения:
\(x^2 = 16^2 + 16^2\),
\(x^2 = 256 + 256\),
\(x^2 = 512\).

Извлекаем корень из обеих сторон уравнения:
\(x = \sqrt{512}\),
\(x = 16\sqrt{2}\) (более удобно записать в таком виде).

Периметр треугольника: \(P_{\text{треугольника}} = AB + AC + BC\).

Подставляем значения:
\(P_{\text{треугольника}} = 16 + 16 + 16\sqrt{2} = 32 + 16\sqrt{2}\).

Ответ: Периметр треугольника, ограниченного касательными к окружности, равен \(32 + 16\sqrt{2}\) см.