1. В равных треугольниках, синусы, косинусы и тангенсы углов равны. 2. В подобных прямоугольных треугольниках, синусы

Давайте разберем каждый пункт по отдельности.

1. В равных треугольниках, синусы, косинусы и тангенсы углов равны.

В равных треугольниках, все три угла равны между собой. Для упрощения расчетов, давайте рассмотрим равносторонний треугольник, где все стороны и углы равны.

Найдем значение синуса, косинуса и тангенса одного из углов равностороннего треугольника. Пусть этот угол равен \(\theta\).

Сначала найдем значение синуса угла \(\theta\).
В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому все высоты, проведенные к сторонам, являются медианами и биссектрисами одновременно.
Рассмотрим высоту, проведенную к стороне, противолежащей углу \(\theta\).
Высота разделит основание (сторону треугольника) на две равные части.
По определению синуса, синус угла \(\theta\) равен отношению половины стороны, противолежащей углу, к гипотенузе треугольника.
Так как стороны равностороннего треугольника равны между собой, то синус угла \(\theta\) равен \( \frac{1}{2} \).

Теперь рассмотрим косинус угла \(\theta\).
Косинус угла \(\theta\) равен отношению половины стороны, прилегающей к углу, к гипотенузе треугольника.
В равностороннем треугольнике эта сторона ипотенуза, поэтому косинус угла \(\theta\) также равен \( \frac{1}{2} \).

Наконец, найдем тангенс угла \(\theta\).
Тангенс угла \(\theta\) равен отношению половины стороны, противолежащей углу, к половине стороны, прилегающей к углу.
В равностороннем треугольнике эти стороны равны между собой, поэтому тангенс угла \(\theta\) равен 1.

Таким образом, в равных треугольниках синусы, косинусы и тангенсы всех углов равны \( \frac{1}{2} \) и 1 соответственно.

2. В подобных прямоугольных треугольниках, синусы, косинусы и тангенсы углов равны.

Для понимания данного пункта, давайте вспомним понятие подобия. Если два треугольника подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны.

В подобных прямоугольных треугольниках основание, противоположное прямому углу, и гипотенуза этих треугольников являются пропорциональными сторонами.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и подобный ему треугольник DEF, где угол ABC равен углу DEF.

По определению синуса, синус угла ABC равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Так как треугольники ABC и DEF подобны, то соответствующие стороны также пропорциональны.
Следовательно, синусы углов ABC и DEF равны между собой.

Аналогично, по определению косинуса и тангенса, косинусы и тангенсы углов прямоугольных треугольников также равны в подобных треугольниках.

Таким образом, в подобных прямоугольных треугольниках, синусы, косинусы и тангенсы углов равны.

3. В прямоугольных треугольниках с разными гипотенузами, синусы, косинусы и тангенсы углов равны.

В данном пункте мы рассматриваем прямоугольные треугольники, у которых гипотенузы разной длины.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где гипотенузы ОВ и ОЕ соответственно имеют разные длины.

По определению синуса, синус угла ABC равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (стороне ОВ).
Аналогично, синус угла DEF равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (стороне ОЕ).

Так как гипотенузы ОВ и ОЕ имеют разные длины, противолежащие катеты указанных углов также будут иметь разные длины.
Следовательно, синусы углов ABC и DEF будут различными.

Аналогично, косинусы и тангенсы углов прямоугольных треугольников будут различными, так как они зависят от противолежащих и прилежащих катетов.

Таким образом, в прямоугольных треугольниках с разными гипотенузами, синусы, косинусы и тангенсы углов не равны.

4. В прямоугольных треугольниках с равными катетами, синусы, косинусы и тангенсы углов равны.

В данном пункте мы рассматриваем прямоугольные треугольники, у которых катеты одинаковой длины.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где катеты ОА и ОД соответственно имеют одинаковую длину.

По определению синуса, синус угла ABC равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (стороне ОВ).
Аналогично, синус угла DEF равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (стороне ОЕ).

Так как катеты ОА и ОД имеют одинаковую длину, противолежащие катеты указанных углов также будут иметь одинаковую длину.
Следовательно, синусы углов ABC и DEF будут равными.

Аналогично, косинусы и тангенсы углов прямоугольных треугольников будут равными, так как они зависят от противолежащих и прилежащих катетов.

Таким образом, в прямоугольных треугольниках с равными катетами, синусы, косинусы и тангенсы углов равны.