Какой длины основания равнобедренного треугольника, если центр его вписанной окружности делит высоту, опущенную

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Для начала давайте вспомним некоторые свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны, а угол между ними называется вершинным углом. Также, в равнобедренном треугольнике, перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию, делит основание на два равных отрезка.

Данная задача связана с вписанными окружностями равнобедренных треугольников. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Известно, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника делит высоту, опущенную на основание, на отрезки длиной 5 и 3, считая от вершины.

Пусть \(AB\) - основание равнобедренного треугольника, а \(CD\) - высота, опущенная на основание. Пусть \(E\) - точка касания вписанной окружности с основанием \(AB\), а \(O\) - центр этой окружности. Обозначим отрезок \(CO\) через \(x\). Также изобразим все это на рисунке.

\[ AB = CD, AO = BO, CE = DE, OD = OE \]

Так как \(\triangle AOE\) - прямоугольный треугольник, можем записать:

\[ AO^2 = AE^2 + OE^2 \]
\[ BO^2 = BE^2 + OE^2 \]

Также, по теореме Пифагора, имеем:

\[ AC^2 = AO^2 - CO^2 \]
\[ BC^2 = BO^2 - CO^2 \]

Так как треугольник равнобедренный, имеем \(AC = BC\), поэтому можем произвести равенство:

\[ AO^2 - CO^2 = BO^2 - CO^2 \]

Так как \(AO = BO\), вычитаем это значение с обеих сторон уравнения:

\[ AO^2 - CO^2 - BO^2 + CO^2 = 0 \]
\[ AO^2 - BO^2 = 0 \]
\[ (AO + BO)(AO - BO) = 0 \]
\[ AO + BO = 0 \quad \text{или} \quad AO - BO = 0 \]

Исключим первый случай, так как длины сторон не могут быть негативными. Получаем:

\[ AO - BO = 0 \]
\[ AO = BO \]
\[ AE + EO = BE + EO \]
\[ AE = BE \]
\[ AB = AE + BE \]
\[ AB = 2 AE \]

Так как центр вписанной окружности делит высоту треугольника на отрезки длиной 5 и 3, считая от вершины, получаем:

\[ AE = 5, BE = 3 \]

Подставляем значения:

\[ AB = 2 \cdot 5 = 10 \]

Итак, длина основания равнобедренного треугольника составляет 10.