1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС отмечены точки М, Е и S - середины сторон АВ, ВС

Конечно, не проблема. Давайте решим поставленные задачи последовательно и подробно.

1. Для начала, давайте введем обозначения: пусть AB = AC = a - это боковые стороны равнобедренного треугольника ABC, и пусть BC = b - основание треугольника.

Заметим, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, равна половине основания треугольника. Таким образом, мы можем сказать, что длина MS равна половине длины основания AC.

MS = (1/2) * AC

Так как AC = a, то MS = (1/2) * a.

Теперь разберемся с длиной ME. Здесь нам может помочь свойство медианы, гласящее, что медиана треугольника равна половине длины соответствующей стороны.

ME = (1/2) * AB

Так как AB = AC = a, то ME = (1/2) * a.

Таким образом, получаем ответ:

Длина ME равна (1/2) * a, а длина MS равна (1/2) * a.

2. С этой задачей нам поможет свойство медианы треугольника. Мы знаем, что медиана, проведенная к стороне, делит ее пополам. Таким образом, имея равнобедренный треугольник EMK, мы можем сказать, что сторона МК делится пополам в точке Е.

Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC, нам нужно знать длины его сторон. Мы уже знаем, что сторона АВ равна АС, и обозначим ее за a.

Таким образом, МЕ = МК = (1/2) * ЕК = (1/2) * МА = (1/4) * a.

Так как МЕ = МК = (1/4) * a, то длина стороны ЕК будет равна (1/2) * a + (1/2) * a = (1/2) * 2 * a = a.

Таким образом, имеем стороны треугольника: АВ = AC = a, ВС = a и КЕ = a.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

Периметр = AB + BC + AC = a + a + a = 3a.

Таким образом, периметр треугольника АВС равен 3a.

Ответ: периметр треугольника ABC равен 3a.

Теперь давайте разберемся с вопросом о количестве решений. Если треугольник ЕМК равнобедренный, то сторона МК равна стороне ЕК. Но мы уже установили, что МК = (1/4) * a и ЕК = a. То есть, чтобы у треугольника ЕМК было равное количество сторон, результатом будет a = (1/4) * a, что не имеет решений, если a не равно 0.

Ответ: в данной задаче нет решений, если a не равно 0.

3. У нас есть параллелограмм ABCD, в котором отмечены середины сторон Р, К и Т. Обозначим сторону AB за a, а сторону BC за b.

Параллелограмм имеет свойство, что диагонали друг друга делят пополам. Таким образом, мы можем сказать, что RK = (1/2) * AC и TP = (1/2) * AD.

Теперь обратимся к свойству параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Так как AB || CD и AD || BC, мы можем сказать, что AC = BD и AD = BC.

Таким образом, длина RK равна (1/2) * AC = (1/2) * BD, а длина TP равна (1/2) * AD = (1/2) * BC.

Ответ: длина RK равна (1/2) * AC или (1/2) * BD, а длина TP равна (1/2) * AD или (1/2) * BC.

Надеюсь, что ответ был понятен и информативен! Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с чем-то еще, не стесняйтесь спрашивать.