1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S, стороной основания 12 и боковым ребром 24, выбрали точку К на ребре SC, которая отстоит от вершины S на расстояние 6. Докажите, что линия пересечения плоскости, проведенной через точку К и D перпендикулярно основанию пирамиды, с плоскостью основания пересекает отрезок АВ в его середине.
2. Найдите объем пирамиды KABCD.
2. Найдите объем пирамиды KABCD.
Karnavalnyy_Kloun
Для доказательства пересечения двух плоскостей - плоскости, проходящей через точку K и D, и плоскости основания пирамиды, требуется понять, что эти плоскости перпендикулярны между собой.
У нас есть пирамида SABCDEF, где S - вершина, а ABCDEF - правильный шестиугольник со стороной основания 12 и боковым ребром 24. Мы выбираем точку K на ребре SC, так что расстояние между S и K равно 6. Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей, мы проверим, что вектор, перпендикулярный плоскости основания пирамиды, перпендикулярен вектору, лежащему в плоскости, проходящей через точку K и D.
Для начала, найдем координаты точек А, В, К и D.
Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0).
Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, то точка В имеет координаты (-6, 6√3, 0).
Точка D - вершина пирамиды находится на горизонтальной прямой через точки В и К, следовательно, координаты y и z точки D будут такими же, как у точки B.
Таким образом, координаты точки D (-6, 6√3, 0).
Точка K находится на ребре SC и находится на расстоянии 6 от точки S (вершины).
Итак, координаты точки K будут (0, 6√3, 6).
Общий вектор плоскости основания пирамиды можно определить, найдя векторное произведение векторов AB и AC. Пусть вектор AB = (x1, y1, z1) и вектор AC = (x2, y2, z2), тогда нормальный вектор плоскости основания пирамиды (n) будет равен векторному произведению AB и AC.
Вектор AB = (-6, 6√3, 0) - (0, 0, 0) = (-6, 6√3, 0).
Вектор AC = (12, 0, 0) - (0, 0, 0) = (12, 0, 0).
n = AB x AC = (-6, 6√3, 0) x (12, 0, 0).
Определитель матрицы векторов AB и AC:
\[ \begin{vmatrix} i & j & k \\ -6 & 6\sqrt{3} & 0 \\ 12 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]
Вычисляя определитель, мы получаем:
\[ n = (-6\cdot 0 - 0 \cdot 6\sqrt{3})i - (-6\cdot 0 - 0 \cdot 12)j + (-6\cdot 0 - 12\cdot 6\sqrt{3})k \]
\[ n = 0i - 0j - 72\sqrt{3}k \]
\[ n = - 72\sqrt{3}k \]
Теперь найдем нормальный вектор плоскости, проходящей через точку K и D. Пусть вектор KD = (x3, y3, z3) и вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D = (x4, y4, z4).
Вектор KD = (0 - (-6), 6\sqrt{3} - 6√3, 6 - 0) = (6, 0, 6).
Так как наша плоскость проходит через точку K и D, вектор KD будет лежать в плоскости этой прямой.
Проверим, что вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D, перпендикулярен вектору нормали плоскости основания пирамиды.
Если вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D (N) перпендикулярен вектору нормали плоскости основания пирамиды (n), их скалярное произведение должно быть равно 0.
\(N \cdot n = (x4, y4, z4) \cdot (-72\sqrt{3}, 0, 0)\)
\(N \cdot n = -72\sqrt{3}x4 + 0y4 + 0z4 = -72\sqrt{3}x4\)
Так как N \cdot n = 0, то x4 = 0.
Это означает, что вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D, равен (0, y4, z4).
Так как вектор KD лежит в плоскости основания, мы знаем, что скалярное произведение вектора нормали этой плоскости и KD также должно быть равно 0.
\(N \cdot KD = (0, y4, z4) \cdot (6, 0, 6) = 0\) (уравнение 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной основанию пирамиды. Пусть a, b, c и d - коэффициенты этого уравнения.
Подставим координаты точки D (-6, 6√3, 0) и найденный нормальный вектор плоскости (0, y4, z4) в уравнение плоскости:
a*(-6) + b*(6√3) + c*0 + d = 0
-6a + 6√3b + d = 0 (уравнение 2)
Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через основание пирамиды ABCDEF и перпендикулярной основанию.
Учитывая, что основание пирамиды - правильный шестиугольник, одна его сторона AB лежит на плоскости XY. Значит, вектор нормали той плоскости будет равен вектору, перпендикулярному AB. Воспользуемся этим фактом.
Вектор AB = (-6, 6√3, 0).
Пусть вектор нормали этой плоскости (N1) будет равен (x5, y5, z5).
Тогда, вектор N1 может быть найден с помощью векторного произведения векторов AB и AC:
\[ N1 = AB x AC = (-6, 6\sqrt{3}, 0) \times (12, 0, 0) \]
\[ N1 = (-6\cdot 0 - 0 \cdot 6\sqrt{3})i - (-6 \cdot 0 - 0 \cdot 12)j + (-6 \cdot 0 - 12 \cdot 6\sqrt{3})k \]
\[ N1 = 0i - 0j - 72\sqrt{3}k \]
\[ N1 = -72\sqrt{3}k \]
Таким образом, вектор нормали плоскости, проходящей через основание пирамиды ABCDEF, равен (-72√3, 0, 0).
Подставим координаты точки A (0, 0, 0) и найденный нормальный вектор плоскости (-72√3, 0, 0) в уравнение плоскости:
-a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d = 0 (уравнение 3)
Объединим уравнения 2 и 3 и найдем значения a и b:
-6a + 6√3b = 0.
b = a√3 (уравнение 4)
Теперь вспомним уравнение 1: \(N \cdot KD = (0, y4, z4) \cdot (6, 0, 6) = 0\).
Подставим значения y4 и z4 из уравнений 4 и 1 в это уравнение.
y4*6\sqrt{3} + z4*6 = 0.
(a\sqrt{3})*6\sqrt{3} + (a\sqrt{3})*6 = 0.
36a + 18a = 0.
54a = 0.
a = 0.
Таким образом, мы получили, что a = 0, b = 0, c = 0 и d = 0.
Значит, уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной основанию пирамиды, имеет вид 0*x + 0*y + 0*z + 0 = 0, что соответствует плоскости XY и пересекает отрезок AB в его середине.
Таким образом, мы доказали, что линия пересечения плоскости, проведенной через точку К и D, перпендикулярно основанию пирамиды, с плоскостью основания пересекает отрезок AB в его середине.
Чтобы найти объем пирамиды KABCD, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая равна одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды.
Так как основание пирамиды KABCD - треугольник KAB, площадь его можно найти, используя формулу Герона.
Для начала, найдем длины сторон треугольника KAB.
AB = \(\sqrt{(-6 - 0)^2 + (6\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{12^2 + (6\sqrt{3})^2 + 6^2}\)
AB = \(\sqrt{144 + 108 + 36} = \sqrt{288}= 12\sqrt{2}\).
Теперь, что мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника KAB.
S = \(\sqrt{p(p - KA)(p - KB)(p - AB)}\),
где p - полупериметр треугольника KAB,
KA, KB - длины сторон треугольника KAB.
p = \(\frac{KA + KB + AB}{2}\),
p = \(\frac{24 + 24 + 12\sqrt{2}}{2} = 24 + 6\sqrt{2}\).
Теперь найдем площадь.
S = \(\sqrt{(24 + 6\sqrt{2})(24 + 6\sqrt{2} - 24)(24 + 6\sqrt{2} - 24)(24 + 6\sqrt{2} - 12\sqrt{2})}\),
S = \(\sqrt{(24 + 6\sqrt{2})(6\sqrt{2})(6\sqrt{2})(12)\).
Мы можем сократить:
S = \(6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 = 6 \cdot 6 \cdot 12 = 432\).
Теперь можно найти объем пирамиды KABCD подставив найденную площадь основания S и высоту пирамиды (KD) в формулу.
V = \(\frac{1}{3} \cdot S \cdot KD = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 6 = 72 \cdot 6 = 432\).
Таким образом, объем пирамиды KABCD равен 432 кубическим единицам.
У нас есть пирамида SABCDEF, где S - вершина, а ABCDEF - правильный шестиугольник со стороной основания 12 и боковым ребром 24. Мы выбираем точку K на ребре SC, так что расстояние между S и K равно 6. Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей, мы проверим, что вектор, перпендикулярный плоскости основания пирамиды, перпендикулярен вектору, лежащему в плоскости, проходящей через точку K и D.
Для начала, найдем координаты точек А, В, К и D.
Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0).
Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, то точка В имеет координаты (-6, 6√3, 0).
Точка D - вершина пирамиды находится на горизонтальной прямой через точки В и К, следовательно, координаты y и z точки D будут такими же, как у точки B.
Таким образом, координаты точки D (-6, 6√3, 0).
Точка K находится на ребре SC и находится на расстоянии 6 от точки S (вершины).
Итак, координаты точки K будут (0, 6√3, 6).
Общий вектор плоскости основания пирамиды можно определить, найдя векторное произведение векторов AB и AC. Пусть вектор AB = (x1, y1, z1) и вектор AC = (x2, y2, z2), тогда нормальный вектор плоскости основания пирамиды (n) будет равен векторному произведению AB и AC.
Вектор AB = (-6, 6√3, 0) - (0, 0, 0) = (-6, 6√3, 0).
Вектор AC = (12, 0, 0) - (0, 0, 0) = (12, 0, 0).
n = AB x AC = (-6, 6√3, 0) x (12, 0, 0).
Определитель матрицы векторов AB и AC:
\[ \begin{vmatrix} i & j & k \\ -6 & 6\sqrt{3} & 0 \\ 12 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]
Вычисляя определитель, мы получаем:
\[ n = (-6\cdot 0 - 0 \cdot 6\sqrt{3})i - (-6\cdot 0 - 0 \cdot 12)j + (-6\cdot 0 - 12\cdot 6\sqrt{3})k \]
\[ n = 0i - 0j - 72\sqrt{3}k \]
\[ n = - 72\sqrt{3}k \]
Теперь найдем нормальный вектор плоскости, проходящей через точку K и D. Пусть вектор KD = (x3, y3, z3) и вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D = (x4, y4, z4).
Вектор KD = (0 - (-6), 6\sqrt{3} - 6√3, 6 - 0) = (6, 0, 6).
Так как наша плоскость проходит через точку K и D, вектор KD будет лежать в плоскости этой прямой.
Проверим, что вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D, перпендикулярен вектору нормали плоскости основания пирамиды.
Если вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D (N) перпендикулярен вектору нормали плоскости основания пирамиды (n), их скалярное произведение должно быть равно 0.
\(N \cdot n = (x4, y4, z4) \cdot (-72\sqrt{3}, 0, 0)\)
\(N \cdot n = -72\sqrt{3}x4 + 0y4 + 0z4 = -72\sqrt{3}x4\)
Так как N \cdot n = 0, то x4 = 0.
Это означает, что вектор нормали плоскости, проходящей через точку K и D, равен (0, y4, z4).
Так как вектор KD лежит в плоскости основания, мы знаем, что скалярное произведение вектора нормали этой плоскости и KD также должно быть равно 0.
\(N \cdot KD = (0, y4, z4) \cdot (6, 0, 6) = 0\) (уравнение 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной основанию пирамиды. Пусть a, b, c и d - коэффициенты этого уравнения.
Подставим координаты точки D (-6, 6√3, 0) и найденный нормальный вектор плоскости (0, y4, z4) в уравнение плоскости:
a*(-6) + b*(6√3) + c*0 + d = 0
-6a + 6√3b + d = 0 (уравнение 2)
Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через основание пирамиды ABCDEF и перпендикулярной основанию.
Учитывая, что основание пирамиды - правильный шестиугольник, одна его сторона AB лежит на плоскости XY. Значит, вектор нормали той плоскости будет равен вектору, перпендикулярному AB. Воспользуемся этим фактом.
Вектор AB = (-6, 6√3, 0).
Пусть вектор нормали этой плоскости (N1) будет равен (x5, y5, z5).
Тогда, вектор N1 может быть найден с помощью векторного произведения векторов AB и AC:
\[ N1 = AB x AC = (-6, 6\sqrt{3}, 0) \times (12, 0, 0) \]
\[ N1 = (-6\cdot 0 - 0 \cdot 6\sqrt{3})i - (-6 \cdot 0 - 0 \cdot 12)j + (-6 \cdot 0 - 12 \cdot 6\sqrt{3})k \]
\[ N1 = 0i - 0j - 72\sqrt{3}k \]
\[ N1 = -72\sqrt{3}k \]
Таким образом, вектор нормали плоскости, проходящей через основание пирамиды ABCDEF, равен (-72√3, 0, 0).
Подставим координаты точки A (0, 0, 0) и найденный нормальный вектор плоскости (-72√3, 0, 0) в уравнение плоскости:
-a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d = 0 (уравнение 3)
Объединим уравнения 2 и 3 и найдем значения a и b:
-6a + 6√3b = 0.
b = a√3 (уравнение 4)
Теперь вспомним уравнение 1: \(N \cdot KD = (0, y4, z4) \cdot (6, 0, 6) = 0\).
Подставим значения y4 и z4 из уравнений 4 и 1 в это уравнение.
y4*6\sqrt{3} + z4*6 = 0.
(a\sqrt{3})*6\sqrt{3} + (a\sqrt{3})*6 = 0.
36a + 18a = 0.
54a = 0.
a = 0.
Таким образом, мы получили, что a = 0, b = 0, c = 0 и d = 0.
Значит, уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной основанию пирамиды, имеет вид 0*x + 0*y + 0*z + 0 = 0, что соответствует плоскости XY и пересекает отрезок AB в его середине.
Таким образом, мы доказали, что линия пересечения плоскости, проведенной через точку К и D, перпендикулярно основанию пирамиды, с плоскостью основания пересекает отрезок AB в его середине.
Чтобы найти объем пирамиды KABCD, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая равна одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды.
Так как основание пирамиды KABCD - треугольник KAB, площадь его можно найти, используя формулу Герона.
Для начала, найдем длины сторон треугольника KAB.
AB = \(\sqrt{(-6 - 0)^2 + (6\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{12^2 + (6\sqrt{3})^2 + 6^2}\)
AB = \(\sqrt{144 + 108 + 36} = \sqrt{288}= 12\sqrt{2}\).
Теперь, что мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника KAB.
S = \(\sqrt{p(p - KA)(p - KB)(p - AB)}\),
где p - полупериметр треугольника KAB,
KA, KB - длины сторон треугольника KAB.
p = \(\frac{KA + KB + AB}{2}\),
p = \(\frac{24 + 24 + 12\sqrt{2}}{2} = 24 + 6\sqrt{2}\).
Теперь найдем площадь.
S = \(\sqrt{(24 + 6\sqrt{2})(24 + 6\sqrt{2} - 24)(24 + 6\sqrt{2} - 24)(24 + 6\sqrt{2} - 12\sqrt{2})}\),
S = \(\sqrt{(24 + 6\sqrt{2})(6\sqrt{2})(6\sqrt{2})(12)\).
Мы можем сократить:
S = \(6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 = 6 \cdot 6 \cdot 12 = 432\).
Теперь можно найти объем пирамиды KABCD подставив найденную площадь основания S и высоту пирамиды (KD) в формулу.
V = \(\frac{1}{3} \cdot S \cdot KD = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 6 = 72 \cdot 6 = 432\).
Таким образом, объем пирамиды KABCD равен 432 кубическим единицам.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
