1. В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Какое отношение радиуса

1. В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Чтобы найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, нужно воспользоваться следующим соотношением:

\[ \frac{{r_1}}{{r_2}} = \sqrt{\frac{{S_1}}{{S_2}}} \]

где \( r_1 \) - радиус окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, \( r_2 \) - радиус окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, \( S_1 \) - площадь треугольника A1B1C1, \( S_2 \) - площадь шестиугольника ABCDEF.

Для начала найдем площадь треугольника A1B1C1. Поскольку треугольник правильный, его площадь можно вычислить по формуле:

\[ S_1 = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставим известные значения и получим:

\[ S_1 = \frac{{6^2 \sqrt{3}}}{4} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь найдем площадь шестиугольника ABCDEF. Для правильного шестиугольника площадь можно вычислить по формуле:

\[ S_2 = \frac{{3 \sqrt{3}}}{2} a^2 \]

где \( a \) - длина стороны шестиугольника.

Подставим известные значения и получим:

\[ S_2 = \frac{{3 \sqrt{3}}}{2} \cdot 6^2 = 54\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь можем найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF:

\[ \frac{{r_1}}{{r_2}} = \sqrt{\frac{{S_1}}{{S_2}}} = \sqrt{\frac{{9\sqrt{3}}}{{54\sqrt{3}}}} = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \]

Таким образом, отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, равно \( \frac{1}{\sqrt{6}} \).

2. В правильном треугольнике MNP вписана окружность. Для решения задачи нам понадобится знание одного свойства: в правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Поэтому радиус вписанной окружности в треугольнике MNP и радиус описанной окружности будут равны.

Зная, что MR = 5√3 и угол KMR = 30°, мы можем применить тригонометрический закон синусов для нахождения длины NP, а затем использовать ее для вычисления радиуса вписанной окружности и длины окружности.

Используем следующую формулу для нахождения длины стороны треугольника MNP:

\[ NP = \frac{{MR}}{{\sin(\angle KMR)}} \]

Определим значение синуса угла KMR:

\[ \sin(30°) = \frac{{1}}{{2}} \]

Подставим известные значения:

\[ NP = \frac{{5\sqrt{3}}}{{\frac{{1}}{{2}}}} = 10\sqrt{3} \]

Теперь найдем радиус вписанной окружности, который равен радиусу описанной окружности:

\[ r_{\text{впис.}} = r_{\text{опис.}} = \frac{{NP}}{{2\sin(\angle MNP)}} \]

Определим значение синуса угла MNP:

\[ \sin(60°) = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \]

Подставим известные значения:

\[ r_{\text{впис.}} = \frac{{10\sqrt{3}}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = 5 \]

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольнике MNP равен 5 и он также является радиусом описанной окружности. Длина окружности равна произведению радиуса на \( 2\pi \):

\[ L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \]

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольнике MNP равен 5, а его длина равна \( 10\pi \).

3. Для решения задачи нам понадобятся следующие свойства окружностей.

Первое свойство: хорда, проходящая через середину окружности, равна диаметру.

Второе свойство: касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Поэтому мы можем сделать следующие выводы:

1. Длина диаметра большей окружности равна 18 см, так как хорда, касательная к меньшей окружности, равна 18 см (по первому свойству).

2. Радиус большей окружности равен половине диаметра \( \frac{18}{2} = 9 \) см.

Таким образом, радиус большей окружности равен 9 см. Если нужно найти радиус меньшей окружности, дополнительной информации нет.