1. В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Какое отношение радиуса

1. В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Чтобы найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, нужно воспользоваться следующим соотношением:

$$\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$$

где $r_1$ - радиус окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, $r_2$ - радиус окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, $S_1$ - площадь треугольника A1B1C1, $S_2$ - площадь шестиугольника ABCDEF.

Для начала найдем площадь треугольника A1B1C1. Поскольку треугольник правильный, его площадь можно вычислить по формуле:

$$S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

где $a$ - длина стороны треугольника.

Подставим известные значения и получим:

$$S_1=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

Теперь найдем площадь шестиугольника ABCDEF. Для правильного шестиугольника площадь можно вычислить по формуле:

$$S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$

где $a$ - длина стороны шестиугольника.

Подставим известные значения и получим:

$$S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 6^2=54\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

Теперь можем найти отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF:

$$\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}=\sqrt{\frac{9\sqrt{3}}{54\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$

Таким образом, отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, равно $\frac{1}{\sqrt{6}}$.

2. В правильном треугольнике MNP вписана окружность. Для решения задачи нам понадобится знание одного свойства: в правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Поэтому радиус вписанной окружности в треугольнике MNP и радиус описанной окружности будут равны.

Зная, что MR = 5√3 и угол KMR = 30°, мы можем применить тригонометрический закон синусов для нахождения длины NP, а затем использовать ее для вычисления радиуса вписанной окружности и длины окружности.

Используем следующую формулу для нахождения длины стороны треугольника MNP:

$$NP=\frac{MR}{\sin (\mathrm{\angle }KMR)}$$

Определим значение синуса угла KMR:

$$\sin (30°)=\frac{1}{2}$$

Подставим известные значения:

$$NP=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{3}$$

Теперь найдем радиус вписанной окружности, который равен радиусу описанной окружности:

$$r_{\text{впис.}}=r_{\text{опис.}}=\frac{NP}{2\sin (\mathrm{\angle }MNP)}$$

Определим значение синуса угла MNP:

$$\sin (60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим известные значения:

$$r_{\text{впис.}}=\frac{10\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=5$$

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольнике MNP равен 5 и он также является радиусом описанной окружности. Длина окружности равна произведению радиуса на $2\pi$:

$$L=2\pi \cdot 5=10\pi$$

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольнике MNP равен 5, а его длина равна $10\pi$.

3. Для решения задачи нам понадобятся следующие свойства окружностей.

Первое свойство: хорда, проходящая через середину окружности, равна диаметру.

Второе свойство: касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Поэтому мы можем сделать следующие выводы:

1. Длина диаметра большей окружности равна 18 см, так как хорда, касательная к меньшей окружности, равна 18 см (по первому свойству).

2. Радиус большей окружности равен половине диаметра $\frac{18}{2}=9$ см.

Таким образом, радиус большей окружности равен 9 см. Если нужно найти радиус меньшей окружности, дополнительной информации нет.