1. В параллелограмме ABCD угол A равен 30 градусам, AB равно 2√3, AC равно 5. Нужно найти скалярное произведение

Давайте начнем с задачи а), где нужно найти скалярное произведение векторов AD и AB.

1. Сначала нам потребуется найти вектор AD. Вектор AD можно найти вычитанием вектора AB из вектора AC. То есть, AD = AC - AB.

2. Заметим, что вектор AB можно представить как AB = [2√3, 0]. Так как AB всегда параллелен одной из сторон параллелограмма.

3. Теперь нужно найти вектор AC. Вектор AC можно представить в виде AC = [AC_x, AC_y]. Мы знаем, что длина AC равна 5, поэтому AC_x^2 + AC_y^2 = 5^2.

4. Так как угол A равен 30 градусам, мы можем использовать его, чтобы найти значение AC_x и AC_y.

5. Разложим вектор AC на два других вектора, которые будут параллельны сторонам параллелограмма. Пусть AC_x будет длиной первого вектора, который будет параллелен AB, и AC_y длиной второго вектора, параллельного AD.

6. Так как у нас прямоугольный треугольник со сторонами AC_x, AC_y и гипотенузой AC, мы можем использовать тригонометрический подход.

7. По теореме Пифагора, AC_x^2 + AC_y^2 = 5^2. Также, мы знаем, что sin(30) = AC_y / 5. Тогда AC_y = 5 * sin(30) и AC_x = 5 * cos(30).

8. Теперь мы можем найти вектор AD. AD = [AC_x - AB_x, AC_y - AB_y].

9. Подставим известные значения и вычислим вектор AD: AD = [5 * cos(30) - 2√3, 5 * sin(30) - 0] = [5 * (1/2) - 2√3, 5 * (1/2) - 0] = [5/2 - 2√3, 5/2].

10. Наконец, нам нужно найти скалярное произведение векторов AD и AB. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по формуле: AD · AB = AD_x * AB_x + AD_y * AB_y.

11. Подставим значения векторов AD и AB и вычислим скалярное произведение: AD · AB = (5/2 - 2√3) * 2√3 + (5/2) * 0 = (5/2 - 2√3) * 2√3 = 5√3/2 - 12.

Таким образом, скалярное произведение векторов AD и AB равно 5√3/2 - 12.

Теперь перейдем к задаче б), где нужно найти скалярное произведение векторов BA и BC.

1. Скалярное произведение векторов BA и BC можно найти по той же формуле: BA · BC = BA_x * BC_x + BA_y * BC_y.

2. Мы знаем, что вектор BA можно выразить как BA = -AB. То есть, BA = [-2√3, 0].

3. Также, вектор BC можно выразить как BC = BD - AC. Здесь BD - это вектор, соответствующий стороне параллелограмма BD.

4. Мы знаем, что BD представляет собой горизонтальную сторону параллелограмма, и поэтому BD = AB. То есть, BD = [2√3, 0].

5. Теперь подставим значения векторов BA и BC в формулу для скалярного произведения и вычислим его: BA · BC = (-2√3) * (2√3) + 0 * 0 = -12 + 0 = -12.

Таким образом, скалярное произведение векторов BA и BC равно -12.