1. В параллелограмме ABCD, точка М является серединой стороны AD, а точка Р - точкой пересечения отрезка

BC = 4 : 3.

1. Доказательство того, что прямая DP проходит через середину стороны АВ:
Параллелограмм ABCD имеет свойство, что диагонали его делят друг на друга пополам. Таким образом, диагональ AC делит сторону BD пополам. Поскольку точка М является серединой стороны AD, то отрезок BM также делится пополам точкой М. То есть, AM = MD.

Также, поскольку точка Р является точкой пересечения отрезка ВМ с диагональю АС, то прямые BP и DM пересекаются в точке Р.
Рассмотрим треугольники ABP и CDM.

Треугольник ABP:
- Вершина А соединена с вершиной В прямой AB.
- Вершина А соединена с точкой Р прямой AP.
- Точка Р соединена с вершиной В прямой BP.

Треугольник CDM:
- Вершина D соединена с вершиной С прямой CD.
- Вершина D соединена с точкой М прямой DM.
- Точка М соединена с вершиной C прямой CM.

Так как мы знаем, что AM = MD, а также BM = MC (так как точка М является серединой стороны AD), то треугольники ABP и CDM являются равнобедренными треугольниками. А в равнобедренных треугольниках биссектриса угла основания проходит через середину основания. Следовательно, прямая DP проходит через середину стороны АВ, что и требовалось доказать.

2. Доказательство того, что прямая CD делит треугольник АВС на два подобных треугольника:
Построена окружность с диаметром CD, которая проходит через точку D на стороне АВ. Поскольку диаметр является прямым углом к окружности, получаем, что угол CDA является прямым углом.

Так как угол CDA является прямым углом, то угол СДА является прямым углом, а значит, треугольник СDA - прямоугольный треугольник. Также, поскольку треугольник СВD имеет общую сторону CD с треугольником СDA и общую вершину D, то эти два треугольника имеют два угла, равные друг другу. Следовательно, треугольники СВD и СDA являются подобными треугольниками по признаку двух углов.

То же самое можно сказать и о треугольниках СВD и САD. У них также два угла, равные друг другу, и они являются прямоугольными треугольниками.

Таким образом, прямая CD делит треугольник АВС на два подобных треугольника: треугольник СВD и треугольник СДА.

3. Нахождение отношения площадей подобных треугольников:
Поскольку треугольники СВD и СDA являются подобными треугольниками, то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Из условия задачи мы знаем, что АВ : АС = 1 : 3. Так как АВ и АС - стороны треугольника АВС, а соответствующие стороны двух подобных треугольников - это стороны СВ и СА, то имеем СВ : СА = 1 : 3.

Теперь можем найти отношение площадей треугольников СВD и СDA. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.

То есть, \(\frac{{S_{СВD}}}{{S_{СDA}}} = \left(\frac{{СВ}}{{СА}}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\)

Таким образом, отношение площадей треугольников СВD и СДА равно \(\frac{1}{9}\).