1. В каких точках может возникать экстремум у дифференцируемой функции: 1) когда производная не определена, 2) когда

1. Для ответа на вопрос о возникновении экстремума у дифференцируемой функции, давайте разберемся пошагово:

1) Когда производная не определена:
Это может произойти в точках, где функция имеет разрыв или разрыв производной. Например, если функция имеет разрыв в определенной точке или разрыв второй производной. В таком случае, в точках разрыва производной функции экстремум возникать не будет.

2) Когда производная равна нулю:
В точках, где производная функции равна нулю, может возникать экстремум. Для определения, является ли точка экстремумом, необходимо проанализировать знак изменения производной в окрестности этой точки. Если производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка минимума, а если производная меняет знак с минуса на плюс, то это будет точка максимума.

3) Когда производная равна нулю или не определена:
В точках, где производная функции равна нулю или не определена, также может возникать экстремум. Но не все такие точки будут точками экстремума. Необходимо провести дополнительный анализ, чтобы определить, является ли точка экстремумом или нет.

2. Для определения, изображен ли на рисунке график производной функции на интервале (-7; 4), нужно провести анализ самого рисунка. Если на рисунке представлен график производной функции, то на нем должны быть видны интервалы возрастания и убывания функции.

3. Теперь рассмотрим функцию \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\) и выполним следующие задачи:

а) Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти точки, где производная функции равна нулю или не определена. Решим уравнение \(f"(x) = 0\):

\[
f"(x) = 3x^2 - 4x + 1
\]

Для нахождения решений этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]
\[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4
\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1
\]
\[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

Таким образом, экстремумы функции находятся в точке \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{1}{3}\).

б) Для определения интервалов возрастания и убывания функции, анализируем знак производной функции. Проведем знаковую таблицу для функции \(f"(x)\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & \frac{1}{3} & 1 \\
\hline
f"(x) & + & 0 & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из знаковой таблицы видно, что производная положительна на интервале \((0; \frac{1}{3})\) и на интервале \((1; +\infty)\), что соответствует интервалам возрастания функции. Таким образом, функция возрастает на этих интервалах.

в) Чтобы найти точки перегиба, нужно найти значения x, при которых вторая производная функции равна нулю или не определена. Рассчитаем вторую производную функции f(x):

\[
f""(x) = 6x - 4
\]

Чтобы найти точки перегиба, решим уравнение \(f""(x) = 0\):

\[
6x - 4 = 0
\]
\[
6x = 4
\]
\[
x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

Таким образом, точка перегиба функции находится в точке \(x = \frac{2}{3}\).

г) Построим график функции \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\) на указанном отрезке. Для этого построим таблицу значений функции f(x) для различных значений x на указанном интервале и нарисуем график, используя эти точки.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-7 & -287 \\
\hline
-6 & -203 \\
\hline
-5 & -143 \\
\hline
-4 & -103 \\
\hline
-3 & -79 \\
\hline
-2 & -67 \\
\hline
-1 & -63 \\
\hline
0 & 3 \\
\hline
1 & 3 \\
\hline
2 & 5 \\
\hline
3 & 15 \\
\hline
4 & 33 \\
\hline
\end{array}
\]

По полученным значениям можно построить график функции \(f(x)\) на указанном отрезке (-7;4).

д) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, рассмотрим значения f(x) на указанном отрезке (-7;4). Наибольшее значение функции будет соответствовать максимуму функции, а наименьшее значение - минимуму функции. Из графика или таблицы значений видно, что наибольшее значение функции равно 33, а наименьшее значение равно -287.

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам лучше понять и решить задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.