1. В каких рамках с вероятностью 95% находилось общее количество людей, устроенных на работу, если кадровое агентство

1. Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Общее количество людей, устроенных на работу, можно представить как биномиальную случайную величину, где вероятность трудоустройства каждого специалиста равна 0,2.

Давайте обозначим X как общее количество людей, устроенных на работу. Таким образом, X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 500 (число специалистов) и p = 0,2 (вероятность трудоустройства).

Мы хотим найти интервал, в котором находится X с вероятностью 95%. Для этого мы можем воспользоваться нормальным распределением, так как выборка достаточно большая и используем Центральную предельную теорему.

Математическое ожидание (среднее значение) биномиального распределения равно \( E(X) = np = 500 \cdot 0,2 = 100 \).

Дисперсия биномиального распределения равна \( Var(X) = np(1-p) = 500 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 80 \).

Стандартное отклонение можно найти как квадратный корень из дисперсии: \( \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{80} \approx 8,94 \).

Чтобы найти интервал с вероятностью 95%, мы можем использовать правило трех сигм. Для нормального распределения 95% вероятность попадания в пределы \(\pm 1,96\) стандартных отклонений от среднего значения.

Нижняя граница нашего интервала будет \(100 - 1,96 \cdot 8,94 \approx 83,02\).

Верхняя граница нашего интервала будет \(100 + 1,96 \cdot 8,94 \approx 116,98\).

Таким образом, с вероятностью 95% общее количество людей, устроенных на работу, будет находиться в интервале от 83 до 117 специалистов.

2. Для решения этой задачи мы можем использовать равномерное распределение. Время изготовления каждой детали равномерно распределено от 4 до 8 минут, что означает, что оно может принимать любое значение в этом интервале с равной вероятностью.

Давайте обозначим X как общее количество деталей, которые можно гарантировано изготовить за 25 рабочих часов. Время изготовления каждой детали можно представить как равномерно распределенную случайную величину.

Мы хотим найти интервал, в котором находится X с вероятностью 95%. Для этого мы можем воспользоваться нормальным распределением, так как выборка большая и используем Центральную предельную теорему.

Математическое ожидание (среднее значение) равномерного распределения можно найти как среднее арифметическое от границ интервала: \( E(X) = (4 + 8) / 2 = 6 \).

Дисперсия равномерного распределения можно найти с помощью формулы: \( Var(X) = (b - a)^2 / 12 \), где \( a \) и \( b \) - границы интервала. В нашем случае, \( a = 4 \) и \( b = 8 \), поэтому \( Var(X) = (8 - 4)^2 / 12 = 16 / 12 = 4/3 \).

Стандартное отклонение можно найти как квадратный корень из дисперсии: \( \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{4/3} \approx 1,15 \).

Чтобы найти интервал с вероятностью 95%, мы можем использовать правило трех сигм. Для нормального распределения 95% вероятность попадания в пределы \(\pm 1,96\) стандартных отклонений от среднего значения.

Минимальное время изготовления детали будет \(6 - 1,96 \cdot 1,15 \approx 3,35\) минут.

Максимальное время изготовления детали будет \(6 + 1,96 \cdot 1,15 \approx 8,65\) минут.

Чтобы найти количество деталей, которые можно гарантировано изготовить за 25 рабочих часов, мы делим общее время рабочих часов на среднее время изготовления детали: \(25 \cdot 60 / 6 = 250\).

Таким образом, с вероятностью 95% можно гарантировано изготовить от 3 до 9 деталей за 25 рабочих часов.