1. В данном кубе с ребром 1, где точка о является центром грани abcd, с использованием метода координат, определите

Чтобы решить данную задачу, введем систему координат в пространстве, где точка \( O \) будет центром координат и оси \( Ox \), \( Oy \) и \( Oz \) будут совпадать с ребрами куба \( OA_1 \), \( OB_1 \) и \( OD \) соответственно.

Сначала рассмотрим вопрос а). Мы должны найти угол между прямыми \( A_1D \) и \( B_1O \). Заметим, что прямая \( A_1D \) проходит через две точки: \( A_1 (0,1,0) \) и \( D (1,0,0) \). Найдем вектор направления этой прямой, вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки:

\[
\overrightarrow{A_1D} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A_1} = (1,0,0) - (0,1,0) = (1,-1,0)
\]

Аналогично, прямая \( B_1O \) проходит через две точки: \( B_1 (1,1,1) \) и \( O (0,0,0) \). Найдем вектор направления этой прямой:

\[
\overrightarrow{B_1O} = \overrightarrow{O} - \overrightarrow{B_1} = (0,0,0) - (1,1,1) = (-1,-1,-1)
\]

Чтобы найти угол между этими прямыми, воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{B_1O}}{\left\|\overrightarrow{A_1D}\right\| \cdot \left\|\overrightarrow{B_1O}\right\|}
\]

Вычислим скалярное произведение векторов и их длины:

\[
\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{B_1O} = (1,-1,0) \cdot (-1,-1,-1) = -1 + 1 + 0 = 0
\]

\[
\left\|\overrightarrow{A_1D}\right\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}
\]

\[
\left\|\overrightarrow{B_1O}\right\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}
\]

Подставим значения в формулу и найдем косинус угла:

\[
\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0
\]

Таким образом, угол между прямыми \( A_1D \) и \( B_1O \) равен \( \theta = 90^\circ \) (прямой угол).

Теперь перейдем к вопросу б). Нам нужно найти расстояние между точкой \( O \) и серединой отрезка \( A_1D \). Чтобы это сделать, найдем координаты середины отрезка, которые будут являться средними значениями соответствующих координат начальной и конечной точек:

\[
\left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)
\]

Теперь найдем расстояние между точкой \( O \) и серединой отрезка \( A_1D \) с использованием формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, расстояние между точкой \( O \) и серединой отрезка \( A_1D \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ниже приведено графическое изображение для лучшего понимания:

\[
\begin{array}{l}
\text{Точка } O \text{ - центр координат.} \\
\text{Точка } A_1 \text{ - (0,1,0).} \\
\text{Точка } D \text{ - (1,0,0).} \\
\text{Точка } B_1 \text{ - (1,1,1).} \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
& & B_1(1,1,1) & \\
& & &\\
A_1(0,1,0) &\longrightarrow & O(0,0,0) & \longleftarrow D (1,0,0) \\
& & &\\
& & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \