1) В четырехугольнике ABCD cвog четырехгранными значениями углов a и d равны 64∘. Перпендикуляры, проведенные

Задача 1:

Дано: В четырехугольнике ABCD с четырехгранными значениями углов a и d равны 64∘. Перпендикуляры, проведенные из середин отрезков AB и CD, пересекаются в серединах стороны AD. Нужно найти меру угла между прямыми AC и BD.

Для решения этой задачи, давайте проведем некоторые дополнительные линии и введем обозначения. Пусть точка M - середина отрезка AB, точка N - середина отрезка CD, а точка O - точка пересечения перпендикуляров из M и N.

Таким образом, получаем, что MO является высотой треугольника ABD, а NO - высотой треугольника BCD. Поскольку MO и NO пересекаются в точке O, получаем, что эти две высоты являются медианами в треугольниках ABD и BCD. Значит, точка O это также точка пересечения медиан в данных треугольниках.

Так как O - точка пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, OM = 2MA и ON = 2ND.

Теперь мы можем использовать полученную информацию для решения задачи. Заметим, что углы AOM и DON являются прямыми углами, так как прямые AC и BD пересекаются в O. Также, углы AOM и DON равны, так как в треугольниках AOM и DON стороны AO, OM и DO, соответственно, пропорциональны сторонам MO, ON и ND. Из этих двух фактов следует, что углы AOM и DON равны между собой.

Теперь взглянем на угол MOD, который является углом между прямыми MO и DO в треугольнике MOD. Поскольку углы AOM и DON равны, а угол MOD является вертикальным углом, получаем, что угол MOD также равен углу AOM или DON.

Таким образом, мера угла между прямыми AC и BD равна мере угла MOD, который также равен мере угла AOM или DON.

Остается найти значение меры угла MOD или AOM или DON. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180∘. В треугольнике AOM у нас уже известны значения двух углов - a (который равен 64∘) и прямого угла. Получаем, что мера угла AOM равна \(180^\circ - a - 90^\circ = 90^\circ - a\).

Значит, мера угла MOD, которая равна мере угла AOM или DON, равна \(90^\circ - a\).

Ответ: Мера угла между прямыми AC и BD равна \(90^\circ - a\).

Задача 2:

Дано: В пятиугольнике ABCDE верны следующие условия: AB=BC=CD=DE, ∠B=90∘, ∠C=36∘ и ∠D=270∘. Нужно найти меру угла Е пятиугольника.

Для решения этой задачи давайте рассмотрим угол C. Нам известно, что угол C равен 36∘, а угол B равен 90∘. Сумма углов пятиугольника равна 540∘. Получаем, что сумма углов ACD, CDE и E равна \(540^\circ - 90^\circ - 36^\circ = 414^\circ\).

Так как стороны AB, BC, CD и DE равны между собой, то углы A и E должны быть равны. Таким образом, мера угла E равна \(\frac{{414^\circ}}{2} = 207^\circ\).

Ответ: Мера угла Е пятиугольника равна \(207^\circ\).