1) The planes of the equilateral triangles ABC and ADC are perpendicular (see figure). BM is the median of triangle

Задача 1:
Для начала, введем обозначения: пусть O - точка пересечения отрезков BM и AC, а X - точка пересечения прямых BM и AD. Также пусть AB = BC = AD = DC = a - длина стороны треугольника ABC и ADC.

Так как треугольники ABC и ADC являются равносторонними, то у них также равны все углы, а значит, треугольники AOB и DOX являются равнобедренными. Также, заметим, что треугольники AOX и DOB являются прямоугольными, так как у них один из углов прямой.

Найдем длину отрезка BD. В треугольнике BOC применим теорему Пифагора:
\[BC^2 = BO^2 + OC^2\]

Так как треугольник BOC является прямоугольным, то мы знаем, что OC = \(\frac{1}{2} a\), а BO = BM - MO. Так как BM = 5 см, нам осталось найти длину отрезка MO.

Заметим, что треугольник BMO является подобным треугольнику ABC, так как они имеют два одинаковых угла на вершинах B и M. Из подобия треугольников, мы можем определить соотношение сторон:
\[\frac{MO}{BM} = \frac{OC}{BC}\]
\[\frac{MO}{5} = \frac{\frac{1}{2}a}{a}\]
\[MO = \frac{5}{2}\]

Теперь можем подставить значения OC и BO в формулу теоремы Пифагора:
\[a^2 = \left(BM - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[a^2 = BM^2 - 2 \cdot BM \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}a^2\]
Уберем лишние слагаемые и приведем подобные:
\[\frac{3}{4}a^2 - 5a - \frac{25}{4} = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя формулу дискриминанта.

Дискриминант D квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\). Подставим значения a, b и c в наше уравнение:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{25}{4}\right) = 25 - 3 \cdot \frac{25}{4} = 25 - \frac{75}{4}\]
\[D = \frac{100 - 75}{4} = \frac{25}{4}\]

Итак, дискриминант D равен \(\frac{25}{4}\). Учитывая, что у нас положительный дискриминант, имеется 2 вещественных корня.

Далее, используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[x_1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения a, b и D в формулу:
\[x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{\frac{25}{4}}}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\]

Данные корни соответствуют значениям длины стороны a. Отрезок длины не может быть отрицательным, поэтому \(x_2\) нам не подходит.

Итак, отрезок BD имеет длину \(x_1 = \frac{5}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}}\). Мы можем упростить это выражение:
\[x_1 = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезка BD равна 5 см.

Задача 2:
Дана диедральный угол, и одна из его граней находится в плоскости. Обозначим вертикальную плоскость, которую образует данный угол, как плоскость A, а горизонтальную плоскость, на которую проецируется точка B, как плоскость B.

По условию, угол A имеет величину 60°, а расстояние от точки B до ребра угла A составляет 10 см. Нужно найти расстояние от точки B до второй грани угла A.

Чтобы решить эту задачу, поймем, что проецирование точки B на плоскость B будет происходить перпендикулярно ребру угла A.

Поскольку угол A имеет величину 60°, его дополнение составляет 120°. Поделим угол A на две равные части, чтобы получить прямоугольный треугольник. Расстояние от точки B до ребра угла A является гипотенузой этого треугольника.

Теперь рассмотрим половину угла, образованную в горизонтальной плоскости B. Заметим, что данное расстояние от точки B до второй грани угла A будет равно половине оригинального расстояния.

Вычислим эту половину, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

\[\sin(120°) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{10 \, \text{{см}}}}\]

Отсюда найдем значение противоположного катета:

\[\text{{противоположный катет}} = \frac{10 \, \text{{см}}}{2} = 5 \, \text{{см}}\]

Таким образом, расстояние от точки B до второй грани угла A также составляет 5 см.