What is the length of AB in cm if CA is 50 cm and CB is 120 cm? Simplify fractions if necessary. What is the value

Давайте начнем с решения задачи о нахождении длины отрезка AB. У нас даны два отрезка, CA длиной 50 см и CB длиной 120 см. Нам нужно найти длину AB.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае треугольник ABC не обязательно прямоугольный, но для нахождения длины отрезка AB мы можем использовать теорему Пифагора на треугольниках CAB и CBA, так как длина отрезка AB будет одинаковая в обоих случаях.

Давайте сначала найдем длину отрезка AB, используя треугольник CAB:

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:

$$C{A}^2+A{B}^2=C{B}^2$$

Подставляя значения, получим:

$${50}^2+A{B}^2={120}^2$$

Вычисляя значения в формуле, получим:

$$2500+A{B}^2=14400$$

Вычитаем 2500 из обеих сторон уравнения:

$$A{B}^2=14400-2500=11900$$

Для упрощения выражения мы можем выразить AB в виде квадратного корня:

$$AB=\sqrt{11900}$$

Теперь, чтобы упростить дробь, выведем из под корня все возможные квадратные множители:

$$AB=\sqrt{2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 17}$$

$$AB=2\cdot 5\cdot \sqrt{2\cdot 7\cdot 17}$$

$$AB=10\sqrt{238}$$

Таким образом, длина отрезка AB равна $10\sqrt{238}$ см.

Теперь перейдем к нахождению значения синуса и косинуса угла B.

Мы можем использовать определение синуса и косинуса через отношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла B равен отношению длины противоположенной стороны к гипотенузе:

$$\sin B=\frac{AB}{CB}$$

Подставляя значения, получим:

$$\sin B=\frac{10\sqrt{238}}{120}$$

Для упрощения выражения, мы можем разделить числитель и знаменатель на 10:

$$\sin B=\frac{\sqrt{238}}{12}$$

Теперь перейдем к нахождению косинуса угла B.

Косинус угла B равен отношению длины прилежащей стороны к гипотенузе:

$$\cos B=\frac{CA}{CB}$$

Подставляя значения, получим:

$$\cos B=\frac{50}{120}$$

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$$\cos B=\frac{5}{12}$$

Таким образом, значение синуса угла B равно $\frac{\sqrt{238}}{12}$, а значение косинуса угла B равно $\frac{5}{12}$.