What is the length of AB in cm if CA is 50 cm and CB is 120 cm? Simplify fractions if necessary. What is the value

Давайте начнем с решения задачи о нахождении длины отрезка AB. У нас даны два отрезка, CA длиной 50 см и CB длиной 120 см. Нам нужно найти длину AB.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае треугольник ABC не обязательно прямоугольный, но для нахождения длины отрезка AB мы можем использовать теорему Пифагора на треугольниках CAB и CBA, так как длина отрезка AB будет одинаковая в обоих случаях.

Давайте сначала найдем длину отрезка AB, используя треугольник CAB:

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:

\[CA^2 + AB^2 = CB^2\]

Подставляя значения, получим:

\[50^2 + AB^2 = 120^2\]

Вычисляя значения в формуле, получим:

\[2500 + AB^2 = 14400\]

Вычитаем 2500 из обеих сторон уравнения:

\[AB^2 = 14400 - 2500 = 11900\]

Для упрощения выражения мы можем выразить AB в виде квадратного корня:

\[AB = \sqrt{11900}\]

Теперь, чтобы упростить дробь, выведем из под корня все возможные квадратные множители:

\[AB = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17}\]

\[AB = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2 \cdot 7 \cdot 17}\]

\[AB = 10 \sqrt{238}\]

Таким образом, длина отрезка AB равна \(10 \sqrt{238}\) см.

Теперь перейдем к нахождению значения синуса и косинуса угла B.

Мы можем использовать определение синуса и косинуса через отношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла B равен отношению длины противоположенной стороны к гипотенузе:

\[\sin B = \frac{AB}{CB}\]

Подставляя значения, получим:

\[\sin B = \frac{10 \sqrt{238}}{120}\]

Для упрощения выражения, мы можем разделить числитель и знаменатель на 10:

\[\sin B = \frac{\sqrt{238}}{12}\]

Теперь перейдем к нахождению косинуса угла B.

Косинус угла B равен отношению длины прилежащей стороны к гипотенузе:

\[\cos B = \frac{CA}{CB}\]

Подставляя значения, получим:

\[\cos B = \frac{50}{120}\]

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

\[\cos B = \frac{5}{12}\]

Таким образом, значение синуса угла B равно \(\frac{\sqrt{238}}{12}\), а значение косинуса угла B равно \(\frac{5}{12}\).