1. Табыңдар, 3 см және 5 см қабырғалары бар тіктөртбұрыштың қабырғалары арқылы пайда болған денелердің көлемдерінің

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Для нахождения объема треугольного призмы, образованной основаниями с длинами сторон 3 см и 5 см, нужно умножить площадь основания на высоту. Формулой для объема треугольной призмы является \(V = S \times h\), где V - объем, S - площадь основания, h - высота. Для треугольной призмы, площадь основания можно найти, используя формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)\), где a и b - стороны основания, C - угол между ними.

В данной задаче, наши основания представляют собой треугольники со сторонами 3 см и 5 см. Чтобы найти площадь, найдем сначала угол между этими сторонами. Можем воспользоваться законом косинусов \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\), где c - гипотенуза треугольника, a и b - катеты, C - угол между ними. В данном случае, a = 3 см, b = 5 см, c = 5 см (так как это длина второго основания).

Подставляем данные в формулу и находим значение угла C:

\[5^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos(C)\]
\[25 = 9 + 25 - 30\cos(C)\]
\[16 = -30\cos(C)\]
\[\cos(C) = \frac{16}{-30}\]
\[\cos(C) \approx -0.5333\]

Находим углы треугольника, используя обратный косинус (арккосинус) от полученного значения:

\[C \approx \arccos(-0.5333) \approx 126.9^\circ\]

Теперь, когда мы знаем угол C, можем найти площадь основания треугольной призмы:

\[S = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin(126.9^\circ)\]
\[S \approx 5.1397 \, \text{см}^2\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания, нужно найти высоту призмы. Обозначим ее как h.

Подставим известные значения в формулу для объема:

\[V = 5.1397 \times h\]

Таким образом, объем призмы равен \(5.1397h\) кубических сантиметров.

2. В задаче дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны. Для нахождения объема пирамиды, образованной основанием равностороннего треугольника, нужно умножить площадь основания на треть высоты. Формула для объема пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \times S \times h\), где V - объем, S - площадь основания, h - высота.

Для равностороннего треугольника площадь основания можно найти по формуле: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\), где a - длина стороны.

Подставляем значение стороны (a = 8 см) в формулу и находим площадь основания:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64\]
\[S \approx 27.7128 \, \text{см}^2\]

Теперь, когда мы знаем площадь основания, нужно найти высоту пирамиды. Обозначим ее как h.

Подставим известные значения в формулу для объема:

\[V = \frac{1}{3} \times 27.7128 \times h\]

Таким образом, объем пирамиды равен \(\frac{1}{3} \times 27.7128 \times h\) кубических сантиметров.

3. В данной задаче у нас имеется биссектриса угла 120°, образованная одним из боковых ребер треугольника, а также длина другого бокового ребра равна 10 см. Мы хотим найти объем пирамиды, образованной этими элементами.

Чтобы найти объем такой пирамиды, нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Площадь основания можем найти, зная биссектрису угла и одно из боковых ребер треугольника.

Формула площади треугольника, где b - длина одного из боковых ребер, h - высота треугольника, а C - угол между этими боковыми ребрами, выглядит следующим образом: \(S = \frac{1}{2} \times b \times h \times \sin(C)\).

Подставим данные в формулу и найдем площадь основания:

\[S = \frac{1}{2} \times 10 \times h \times \sin(120^\circ)\]
\[S = 5h \times \sin(120^\circ)\]

Здесь нам нужно найти значение синуса угла 120°. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Будем считать, что биссектриса и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, а два других боковых ребра - его катеты.

Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы:

\[h^2 = 10^2 + 10^2\]
\[h^2 = 100 + 100\]
\[h^2 = 200\]
\[h = \sqrt{200}\]
\[h \approx 14.14213562\]

Находим противолежащий катет:

\[\sin(120^\circ) = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\]
\[\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\]
\[\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4}\]

Подставляем найденные значения в формулу площади основания:

\[S = 5 \times 14.14213562 \times \frac{\sqrt{6}}{4}\]
\[S \approx 17.67766953\sqrt{6}\]

Теперь, когда мы знаем площадь основания, нужно найти высоту пирамиды. Обозначим ее как h.

Подставим известные значения в формулу для объема:

\[V = \frac{1}{3} \times 17.67766953\sqrt{6} \times h\]

Таким образом, объем пирамиды равен \(\frac{1}{3} \times 17.67766953\sqrt{6} \times h\) кубических сантиметров.

Надеюсь, эти подробные пояснения помогут вам понять, как решать данные задачи. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.