1. Среди 25 лотерейных билетов есть 4 выигрышных. Если мы случайным образом выбираем 3 билета, какова вероятность

Пожалуйста, вот подробные решения для задач, которые вы предложили:

1. Среди 25 лотерейных билетов есть 4 выигрышных. Если мы случайным образом выбираем 3 билета, какова вероятность:

a) иметь не более одного выигрышного билета;

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить вероятность выбрать 0 выигрышных билетов и вероятность выбрать ровно 1 выигрышный билет, а затем сложить эти вероятности.

Вероятность выбрать 0 выигрышных билетов:
\[\frac{{C_{21}^3}}{{C_{25}^3}} = \frac{{21 \cdot 20 \cdot 19}}{{25 \cdot 24 \cdot 23}} \approx 0.288\]

где \(C_{n}^k\) - это биномиальный коэффициент n по k.

Вероятность выбрать ровно 1 выигрышный билет:
\[\frac{{C_{4}^1 \cdot C_{21}^2}}{{C_{25}^3}} = \frac{{4 \cdot 21 \cdot 20}}{{25 \cdot 24 \cdot 23}} \approx 0.384\]

Суммируя эти две вероятности, получим общую вероятность:

\[0.288 + 0.384 = 0.672\]

Ответ: Вероятность иметь не более одного выигрышного билета равна примерно 0.672.

b) иметь хотя бы один выигрышный билет;

Для решения этой задачи нам нужно вычислить вероятность выбрать хотя бы 1 выигрышный билет. Это можно сделать путем вычисления вероятности выбрать все 3 выигрышных билета и вероятности выбрать ровно 2 выигрышных билета, а затем сложить их.

Вероятность выбрать все 3 выигрышных билета:
\[\frac{{C_{4}^3}}{{C_{25}^3}} = \frac{{4}}{{\binom{25}{3}}} \approx 0.024\]

Вероятность выбрать ровно 2 выигрышных билета:
\[\frac{{C_{4}^2 \cdot C_{21}^1}}{{C_{25}^3}} = \frac{{6 \cdot 21}}{{\binom{25}{3}}} \approx 0.144\]

Теперь нам необходимо вычислить вероятность выбрать хотя бы 1 выигрышный билет, которая равна:
\[1 - \text{Вероятность выбрать ни одного выигрышного билета} \approx 1 - 0.024 = 0.976\]

Ответ: Вероятность иметь хотя бы один выигрышный билет составляет примерно 0.976.

2. У испытуемого устройства подключены три прибора. Вероятности выхода из строя этих приборов соответственно равны 0.3, 0.2 и 0.15. Найдите вероятность:

a) того, что за время проведения испытания останется работать только один прибор;

Для решения этой задачи нужно учесть все возможные комбинации выхода из строя приборов, где только один прибор остается работать.

Вероятность того, что первый прибор останется работать, а остальные два выйдут из строя:
\[0.7 \cdot 0.2 \cdot 0.15 = 0.021\]
Вероятность того, что второй прибор останется работать, а остальные два выйдут из строя:
\[0.3 \cdot 0.8 \cdot 0.15 = 0.036\]
Вероятность того, что третий прибор останется работать, а остальные два выйдут из строя:
\[0.3 \cdot 0.2 \cdot 0.85 = 0.051\]

Теперь нужно сложить эти вероятности, чтобы получить общую вероятность:
\[0.021 + 0.036 + 0.051 = 0.108\]

Ответ: Вероятность того, что за время проведения испытания останется работать только один прибор, составляет 0.108.

b) того, что останутся работать два прибора;

Для решения этой задачи нужно учесть все возможные комбинации, где два прибора остаются работать.

Вероятность того, что первый и второй приборы останутся работать, а третий выйдет из строя:
\[0.7 \cdot 0.8 \cdot 0.15 = 0.084\]
Вероятность того, что первый и третий приборы останутся работать, а второй выйдет из строя:
\[0.7 \cdot 0.2 \cdot 0.85 = 0.119\]
Вероятность того, что второй и третий приборы останутся работать, а первый выйдет из строя:
\[0.3 \cdot 0.8 \cdot 0.85 = 0.204\]

Теперь нужно сложить эти вероятности:
\[0.084 + 0.119 + 0.204 = 0.407\]

Ответ: Вероятность того, что останутся работать два прибора, составляет 0.407.

c) того, что останется работать хотя бы два прибора;

Для решения этой задачи нужно учесть все возможные комбинации, где останется работать два или все три прибора.

Вероятность того, что останутся работать два прибора:
\[0.407\]

Вероятность того, что останется работать все три прибора:
\[0.7 \cdot 0.8 \cdot 0.85 = 0.476\]

Теперь нужно сложить эти вероятности:
\[0.407 + 0.476 = 0.883\]

Ответ: Вероятность того, что останется работать хотя бы два прибора, составляет 0.883.

3. К деталям, предназначенным для сборки, поступают со трех