1. Сравните следующие пары чисел: a) корень из 33 и 6 b) корень из 30 и 2 умножить на корень из 7 Выберите наименьшее

Решение:

1. a) Первая пара чисел: корень из 33 и 6.
Для сравнения чисел возьмем квадраты каждого из них и проверим, какой квадрат больше. Квадраты чисел объективно сравниваются.
Квадрат корня из 33: \((\sqrt{33})^2 = 33\)
Квадрат числа 6: \(6^2 = 36\)
Видим, что \(36 > 33\), следовательно, число 6 больше корня из 33.

b) Вторая пара чисел: корень из 30 и 2 умножить на корень из 7.
Также возьмем квадраты и сравним их:
Квадрат корня из 30: \((\sqrt{30})^2 = 30\)
Квадрат числа 2, умноженного на корень из 7: \((2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28\)
Здесь видим, что \(28 < 30\), следовательно, число \(2\sqrt{7}\) меньше корня из 30.

Таким образом, ответ:
а) Наименьшее число: корень из 33.
б) Наименьшее число: \(2\sqrt{7}\).

2. Вычислим значение данного выражения:
\[\frac{\sqrt{\frac{5}{30}}}{\sqrt{\frac{20}{270}}}\]

Чтобы выполнить операции над корнями, мы можем упростить дроби под корнем:
\[\frac{\sqrt{\frac{1}{6}}}{\sqrt{\frac{2}{27}}}\]

Далее, чтобы разделить корни, мы можем перенести делитель под корень:
\[\frac{\sqrt{\frac{1}{6}}}{\sqrt{\frac{2}{27}}} = \sqrt{\frac{1}{6} \cdot \frac{27}{2}}\]

Находим произведение в числителе и знаменателе:
\[\sqrt{\frac{1 \cdot 27}{6 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{27}{12}}\]

Чтобы сократить дробь под корнем, найдем их наибольший общий делитель:
НОД(27, 12) = 3

Делим числитель и знаменатель на НОД:
\[\sqrt{\frac{9}{4}}\]

Получаем ответ: \(\frac{3}{2}\).

3. Выполним указанные действия:
\((6 \cdot \sqrt{7}) + (8 \cdot \sqrt{343}) - \left(\frac{4 \cdot \sqrt{7}}{4}\right)\)

Упростим выражение:
\(6\sqrt{7} + 8\sqrt{7} - \sqrt{7}\)

Объединим подобные слагаемые:
\((6 + 8 - 1)\sqrt{7} = 13\sqrt{7}\)

Далее, умножим полученный результат на 2 под корнем:
\(2 \cdot \sqrt{13\sqrt{7}}\)

Записываем ответ в математической нотации.