1. Сколько вариантов выбора из набора из 20 красок, чтобы выбрать 2 краски для окрашивания поделки? 2. Сколько

1. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для числа сочетаний. Число сочетаний обозначается через символ \(\binom{n}{k}\) и представляет собой количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов без учета порядка выбранных элементов.
В данной задаче требуется выбрать 2 краски из набора из 20 красок, поэтому мы можем использовать формулу комбинаторики:

\(\binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!}\)

Выполним вычисления:

\(\binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \cdot 19}{2!} = \frac{380}{2} = 190\)

Таким образом, существует 190 вариантов выбрать 2 краски для окрашивания поделки, если доступно 20 различных красок.

2. В данной задаче требуется выбрать 3 розы из доступных 6 роз разного цвета для составления букета. Здесь также можно использовать формулу для числа сочетаний:

\(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!}\)

Расчитаем:

\(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\)

Таким образом, имеется 20 вариантов составить букет из трех роз разного цвета при доступных шести розах.

3. В данной задаче требуется выбрать 4 книги, включая словарь, из 10 учебников и словаря на полке. Поскольку словарь должен быть включен, нам остается выбрать еще 3 книги из оставшихся 9 учебников. Мы можем использовать формулу для числа сочетаний:

\(\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!}\)

Выполним вычисления:

\(\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\)

Таким образом, существует 84 способа выбрать 4 книги, включая словарь, из 10 учебников и словаря на полке.

4. В данной задаче требуется выбрать 4 книги, исключая словарь, из 15 книг на полке, включающих его. Здесь мы можем использовать ту же формулу для числа сочетаний:

\(\binom{14}{4} = \frac{14!}{4!(14-4)!}\)

Проведем вычисления:

\(\binom{14}{4} = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4!10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{4! \cdot 10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001\)

Таким образом, имеется 1001 способ выбрать 4 книги, исключая словарь, из 15 книг на полке.

5. В данной задаче требуется выбрать 4 мальчика и 2 девочки из 7 мальчиков и 16 девочек для выполнения школьной работы. Мы можем использовать формулу для числа сочетаний:

\(\binom{7}{4} \cdot \binom{16}{2} = \frac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \frac{16!}{2!(16-2)!}\)

Вычислим:

\(\binom{7}{4} \cdot \binom{16}{2} = \frac{7!}{4!(7-4)!} \cdot \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{7!}{4!3!} \cdot \frac{16!}{2!14!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} \cdot \frac{16 \cdot 15}{2} = 35 \cdot 120 = 4200\)

Таким образом, существует 4200 вариантов выбрать 4 мальчика и 2 девочки из 7 мальчиков и 16 девочек для выполнения школьной работы.