1. Сколько вариантов выбора из набора из 20 красок, чтобы выбрать 2 краски для окрашивания поделки? 2. Сколько

1. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для числа сочетаний. Число сочетаний обозначается через символ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ и представляет собой количество способов выбрать $k$ элементов из множества из $n$ элементов без учета порядка выбранных элементов.
В данной задаче требуется выбрать 2 краски из набора из 20 красок, поэтому мы можем использовать формулу комбинаторики:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2})=\frac{20!}{2!(20-2)!}$

Выполним вычисления:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2})=\frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!18!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18!}{2!\cdot 18!}=\frac{20\cdot 19}{2!}=\frac{380}{2}=190$

Таким образом, существует 190 вариантов выбрать 2 краски для окрашивания поделки, если доступно 20 различных красок.

2. В данной задаче требуется выбрать 3 розы из доступных 6 роз разного цвета для составления букета. Здесь также можно использовать формулу для числа сочетаний:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=\frac{6!}{3!(6-3)!}$

Расчитаем:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6!}{3!3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20$

Таким образом, имеется 20 вариантов составить букет из трех роз разного цвета при доступных шести розах.

3. В данной задаче требуется выбрать 4 книги, включая словарь, из 10 учебников и словаря на полке. Поскольку словарь должен быть включен, нам остается выбрать еще 3 книги из оставшихся 9 учебников. Мы можем использовать формулу для числа сочетаний:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})=\frac{9!}{3!(9-3)!}$

Выполним вычисления:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3!\cdot 6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84$

Таким образом, существует 84 способа выбрать 4 книги, включая словарь, из 10 учебников и словаря на полке.

4. В данной задаче требуется выбрать 4 книги, исключая словарь, из 15 книг на полке, включающих его. Здесь мы можем использовать ту же формулу для числа сочетаний:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{4})=\frac{14!}{4!(14-4)!}$

Проведем вычисления:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{4})=\frac{14!}{4!(14-4)!}=\frac{14!}{4!10!}=\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10!}{4!\cdot 10!}=\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1001$

Таким образом, имеется 1001 способ выбрать 4 книги, исключая словарь, из 15 книг на полке.

5. В данной задаче требуется выбрать 4 мальчика и 2 девочки из 7 мальчиков и 16 девочек для выполнения школьной работы. Мы можем использовать формулу для числа сочетаний:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2})=\frac{7!}{4!(7-4)!}\cdot \frac{16!}{2!(16-2)!}$

Вычислим:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2})=\frac{7!}{4!(7-4)!}\cdot \frac{16!}{2!(16-2)!}=\frac{7!}{4!3!}\cdot \frac{16!}{2!14!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}\cdot \frac{16\cdot 15}{2}=35\cdot 120=4200$

Таким образом, существует 4200 вариантов выбрать 4 мальчика и 2 девочки из 7 мальчиков и 16 девочек для выполнения школьной работы.