1. Сколько студентов могут получить билеты в театр на один вечер, если у каждого студента может быть только один билет

Решение задач:

1. Для решения этой задачи нам необходимо понять, сколько студентов может получить билеты в театр на один вечер, если доступно всего три билета. Так как у каждого студента может быть только один билет, то максимальное количество студентов, которые могут получить билеты, равно количеству доступных билетов. В данном случае это три студента.

2. Для определения количества возможных вариантов рассадки четырех пассажиров на карусели, мы можем использовать принцип умножения. У нас есть 4 пассажира, которые нужно рассадить на карусели, которая имеет 4 места. Таким образом, для первого места есть 4 возможных варианта выбора пассажира, для второго места - 3 возможных варианта, для третьего места - 2 возможных варианта, а для четвертого места - 1 возможный вариант. Общее количество возможных вариантов рассадки будет равно произведению этих чисел: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). Таким образом, существует 24 различных варианта рассадки четырех пассажиров на карусели.

3. Для определения количества призов, которые нужно вручить на выставке цветов, мы можем использовать принцип комбинаторики и биномиальные коэффициенты. У нас есть 18 участниц, и нам нужно выбрать победителей. Если судья выбирает победителей случайным образом, то количество призов можно определить с помощью биномиального коэффициента \(C(n, k)\), где \(n\) - количество участниц, а \(k\) - количество призов. В данном случае нам нужно найти такое значение \(k\), чтобы сумма биномиальных коэффициентов от \(k\) до \(n\) была равна 18. Мы будем перебирать значения \(k\) от 1 до 18 и сравнивать сумму биномиальных коэффициентов с 18. Перебор покажет, что для \(k = 1\) сумма будет больше 18, а при \(k = 2\) сумма будет меньше 18. Таким образом, нам нужно вручить 2 приза. Чтобы найти сочетания победителей, мы можем использовать формулу для биномиального коэффициента \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\). В данном случае, где \(n = 18\) и \(k = 2\), мы можем рассчитать \(C(18, 2) = \frac{{18!}}{{2! \cdot (18 - 2)!}} = \frac{{18!}}{{2! \cdot 16!}} = 153\). Таким образом, нам нужно вручить 153 приза и победительницы получат два из них.

4. Для определения количества различных четырехзначных чисел, которые можно составить, используя только цифры от 1 до 9, мы можем использовать принцип умножения. У нас есть 9 цифр, которые мы можем использовать для составления чисел. Для первой позиции у нас есть 9 возможных вариантов, так как мы не можем использовать ноль в качестве первой цифры. Для второй, третьей и четвертой позиций у нас также есть по 9 возможных вариантов каждая. Общее количество различных четырехзначных чисел будет равно \(9 \times 9 \times 9 \times 9 = 6561\). Таким образом, существует 6561 различных четырехзначных чисел, которые можно составить, используя только цифры от 1 до 9.

5. Для определения общего количества вопросов в тесте из 30 вопросов, нам просто нужно посчитать количество вопросов. В данном случае, общее количество вопросов равно 30. Таким образом, в тесте будет 30 вопросов.