Какова площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды с основанием, все стороны которого равны 72

Сначала нужно определить, что такое поверхность пирамиды. Поверхность пирамиды - это сумма площадей всех ее боковых граней и площади основания.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основанием квадрат, у которого все стороны равны между собой. В данной задаче сторона квадрата составляет 72 единицы длины.

Далее, нам дано, что все боковые ребра пирамиды имеют равную длину и составляют 164 единицы. Боковые грани пирамиды - это треугольники.

Чтобы найти площадь боковой грани, нам нужно использовать формулу площади треугольника. Формула площади треугольника выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\gamma} \]

Где \( a \) и \( b \) - это длины двух сторон треугольника, а \( \gamma \) - угол между этими сторонами.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, они составляют равносторонний треугольник. У всех углов равны 60 градусов.

Теперь, найдем площадь основания пирамиды, которое является квадратом. Формула площади основания квадрата проста:

\[ S_{\text{осн}} = a^2 \]
\[ S_{\text{осн}} = 72^2 \]
\[ S_{\text{осн}} = 5184 \]

Теперь, найдем площадь боковой грани, используя формулу для треугольника:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\gamma} \]
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 164 \cdot \sin{60^\circ} \]
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 164 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ S_{\text{бок}} = 5616 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ S_{\text{бок}} \approx 4868.596 \]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нужно просуммировать площадь всех ее боковых граней и площадь основания:

\[ S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + 4 \cdot S_{\text{бок}} \]
\[ S_{\text{пов}} = 5184 + 4 \cdot 4868.596 \]
\[ S_{\text{пов}} \approx 21274.386 \]

Таким образом, площадь поверхности данной пирамиды составляет примерно 21274.386 квадратных единицы.