1. Сколько деталей необходимо выбрать, чтобы вероятность получить наиболее вероятное количество годных деталей равное

1. Для данной задачи нам необходимо использовать биномиальное распределение. Пусть Х - случайная величина, обозначающая количество годных деталей из заданного количества выбранных деталей. Вероятность получения годной детали равна 0,95 (так как вероятность брака составляет 5%).

Чтобы найти наиболее вероятное количество годных деталей, мы должны выбрать такое количество деталей, при котором вероятность получить именно это количество годных деталей будет максимальной. Это происходит при значении Х, ближайшем к математическому ожиданию распределения.

Математическое ожидание биномиального распределения находится по формуле: \( M(X) = n \cdot p \), где \( n \) - количество выбранных деталей, а \( p \) - вероятность получения годной детали.

Мы знаем, что математическое ожидание равно 60, поэтому возьмем это значение и найдем количество выбранных деталей:
\( 60 = n \cdot 0.95 \)
\( n = \frac{60}{0.95} \)
\( n \approx 63.16 \)

Итак, для того чтобы получить наиболее вероятное количество годных деталей, нам необходимо выбрать около 63 деталей.

2. а) Чтобы найти вероятность наличия ровно 50 мальчиков среди 100 новорожденных, мы должны использовать биномиальное распределение. Пусть X - случайная величина, обозначающая количество мальчиков среди новорожденных. Вероятность рождения мальчика составляет 0,51.

Вероятность получения 50 мальчиков из 100 можно вычислить по формуле биномиального распределения:
\[ P(X = 50) = C_{100}^{50} \cdot 0,51^{50} \cdot (1-0,51)^{100-50} \]

С помощью сочетания \( C_{100}^{50} \) (подробнее о сочетаниях можно посмотреть в теории комбинаторики) можно вычислить количество комбинаций, при которых 50 мальчиков будут рождены.

b) Чтобы найти вероятность наличия не более 45 мальчиков среди 100 новорожденных, мы можем посчитать вероятность отсутствия больше 45 мальчиков и вычесть ее из 1:
\[ P(X \leq 45) = 1 - P(X > 45) \]

c) Чтобы найти вероятность наличия не менее 40 мальчиков среди 100 новорожденных, мы можем посчитать вероятность наличия меньше 40 мальчиков и вычесть ее из 1:
\[ P(X \geq 40) = 1 - P(X < 40) \]

3. а) Чтобы найти вероятность того, что 2 студента родились 4 апреля из 1095 студентов, мы можем использовать биномиальное распределение. Количество попыток (n) равно 1095, вероятность успеха (p) равна \( \frac{1}{365} \), так как мы ищем вероятность, что студенты родились в определенный день.

Вероятность получения 2 студентов, родившихся 4 апреля, из 1095 можно вычислить по формуле биномиального распределения:
\[ P(X = 2) = C_{1095}^{2} \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^2 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right)^{1095-2} \]

b) Чтобы найти вероятность того, что хотя бы у одного студента день рождения 4 апреля, мы можем найти вероятность противоположного события (ни у одного студента день рождения 4 апреля) и вычесть его из 1:
\[ P(\text{хотя бы один студент} \, \text{родился 4 апреля}) = 1 - P(\text{ни у одного студента} \, \text{день рождения 4 апреля}) \]

4. В данной формулировке не указано, о каком событии идет речь. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию и я буду рад помочь вам с этим.