1) Считаются ли независимыми следующие события: а) при первом броске выпало количество очков больше 3 и при втором

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

1)
а) Для данной задачи нам необходимо определить, являются ли события "при первом броске выпало количество очков больше 3" и "при втором броске выпало количество очков меньше 5" независимыми.
Давайте выделим два события: A - "при первом броске выпало количество очков больше 3" и B - "при втором броске выпало количество очков меньше 5". Для того чтобы определить независимость этих событий, необходимо проверить выполнение формулы для независимых событий P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).

Чтобы проиллюстрировать решение, рассмотрим все возможные исходы бросков двух костей:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Первый бросок} & \text{Второй бросок} & \text{A} & \text{B} \\
\hline
1 & 1 & \text{False} & \text{True} \\
\hline
1 & 2 & & \text{True} \\
\hline
1 & 3 & & \text{True} \\
\hline
1 & 4 & & \text{True} \\
\hline
1 & 5 & & \text{True} \\
\hline
1 & 6 & & \text{True} \\
\hline
2 & 1 & \text{False} & \text{True} \\
\hline
2 & 2 & & \text{True} \\
\hline
2 & 3 & & \text{True} \\
\hline
2 & 4 & & \text{True} \\
\hline
2 & 5 & & \text{True} \\
\hline
2 & 6 & & \text{True} \\
\hline
3 & 1 & \text{True} & \text{True} \\
\hline
3 & 2 & & \text{True} \\
\hline
3 & 3 & & \text{True} \\
\hline
3 & 4 & & \text{True} \\
\hline
3 & 5 & & \text{True} \\
\hline
3 & 6 & & \text{True} \\
\hline
4 & 1 & \text{True} & \text{True} \\
\hline
4 & 2 & & \text{True} \\
\hline
4 & 3 & & \text{True} \\
\hline
4 & 4 & & \text{True} \\
\hline
4 & 5 & & \text{True} \\
\hline
4 & 6 & & \text{True} \\
\hline
5 & 1 & \text{True} & \text{True} \\
\hline
5 & 2 & & \text{True} \\
\hline
5 & 3 & & \text{True} \\
\hline
5 & 4 & & \text{True} \\
\hline
5 & 5 & & \text{True} \\
\hline
5 & 6 & & \text{True} \\
\hline
6 & 1 & \text{True} & \text{True} \\
\hline
6 & 2 & & \text{True} \\
\hline
6 & 3 & & \text{True} \\
\hline
6 & 4 & & \text{True} \\
\hline
6 & 5 & & \text{True} \\
\hline
6 & 6 & & \text{True} \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что А и В всегда происходят одновременно, поэтому условие независимости не выполняется.

б) Для данной задачи нам необходимо определить, являются ли события "сумма очков делится на 3" и "сумма очков делится на 2" независимыми.
Для решения данной задачи воспользуемся теми же формулами для независимости событий.

Выделим два события: A - "сумма очков делится на 3" и B - "сумма очков делится на 2". Чтобы определить независимость этих событий, необходимо проверить выполнение формулы для независимых событий P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).

Чтобы решить данную задачу, рассмотрим все возможные комбинации выпадения костей, где сумма делится и на 3, и на 2:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Первая кость} & \text{Вторая кость} & \text{Сумма} \\
\hline
1 & 3 & 4 \\
\hline
3 & 1 & 4 \\
\hline
2 & 4 & 6 \\
\hline
4 & 2 & 6 \\
\hline
3 & 3 & 6 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что события А и B происходят только при комбинации (3, 3), поэтому P(A ∩ B) = 1/36. При этом P(A) = 5/36 (так как событие А возможно в пяти случаях из 36) и P(B) = 6/36 (так как событие B возможно в шести случаях из 36).

Теперь вычислим P(A) ⋅ P(B):

\[
P(A) ⋅ P(B) = \frac{5}{36} ⋅ \frac{6}{36} = \frac{30}{1296} = \frac{5}{216}
\]

Так как P(A ∩ B) ≠ P(A) ⋅ P(B), мы можем сделать вывод, что события "сумма очков делится на 3" и "сумма очков делится на 2" не являются независимыми.

в) Для данной задачи нам необходимо определить, являются ли события "сумма очков равна 6" и "на первой кости выпало количество очков больше 3" независимыми.
Также воспользуемся формулой для независимых событий P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).

Выделим два события: A - "сумма очков равна 6" и B - "на первой кости выпало количество очков больше 3". Чтобы определить независимость этих событий, необходимо проверить выполнение формулы для независимых событий.

Рассмотрим все возможные комбинации выпадения костей, где сумма равна 6 и на первой кости выпало количество очков больше 3:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Первая кость} & \text{Вторая кость} \\
\hline
4 & 2 \\
\hline
5 & 1 \\
\hline
6 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что события А и B происходят только при двух комбинациях (4, 2) и (5, 1), поэтому P(A ∩ B) = 2/36. При этом P(A) = 5/36 (так как событие А возможно в пяти случаях из 36) и P(B) = 3/36 (так как событие B возможно в трех случаях из 36).

Теперь вычислим P(A) ⋅ P(B):

\[
P(A) ⋅ P(B) = \frac{5}{36} ⋅ \frac{3}{36} = \frac{15}{1296} = \frac{5}{432}
\]

Так как P(A ∩ B) ≠ P(A) ⋅ P(B), мы можем сделать вывод, что события "сумма очков равна 6" и "на первой кости выпало количество очков больше 3" не являются независимыми.

2)
а) Для данной задачи нам необходимо определить, являются ли события "при первом броске количество очков больше 3" и "при втором броске количество очков меньше 5" независимыми.
Для определения независимости используем формулу P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).

В этом случае мы не знаем результаты другого броска до окончания первого броска. Поэтому события А и В не зависят друг от друга, поскольку результаты каждого броска являются независимыми. Таким образом, события "при первом броске количество очков больше 3" и "при втором броске количество очков меньше 5" являются независимыми.

б) Для данной задачи нам необходимо определить, являются ли события "сумма очков делится на 3" и "сумма очков делится на 2" независимыми.
Аналогично предыдущему случаю, результаты каждого броска являются независимыми. Поэтому события "сумма очков делится на 3" и "сумма очков делится на 2" являются независимыми.

в) Для данной задачи нам необходимо определить, являются ли события "сумма очков равна 6" и "на первой кости выпало количество очков больше 3" независимыми.
Опять же, результаты каждого броска не зависят друг от друга, поэтому события "сумма очков равна 6" и "на первой кости выпало количество очков больше 3" являются независимыми.