1. С момента броска мяча с высоты 12 метров над землей, определите механическую энергию мяча в момент удара о землю

Задача 1. Для определения механической энергии мяча в момент удара о землю мы можем использовать закон сохранения механической энергии. По этому закону сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы остается постоянной во всех точках движения. В начальный момент времени, когда мяч бросают, его потенциальная энергия равна массе мяча, ускорению свободного падения и высоте, с которой его бросили. В момент удара о землю, потенциальная энергия мяча равна нулю, а его кинетическая энергия достигает максимального значения.

Масса мяча составляет 500 г, что равно 0,5 кг. Высота с которой мяч бросили равна 12 метрам. Используя формулу для потенциальной энергии $E_p=m\cdot g\cdot h$, где $m$ - масса мяча, $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота, получаем:

$$E_p=0,5\text{кг}\cdot 9,8{\text{м/c}}^2\cdot 12\text{м}=58,8\text{Дж}$$

Теперь рассмотрим кинетическую энергию мяча в момент удара о землю. Используя формулу для кинетической энергии $E_k=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$, где $m$ - масса мяча, $v$ - скорость мяча, получаем:

$$E_k=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{кг}\cdot (12\text{м/с}{)}^2=36\text{Дж}$$

Таким образом, механическая энергия мяча в момент удара о землю составляет 58,8 Дж + 36 Дж = 94,8 Дж.

Задача 2. Чтобы определить начальную скорость, необходимую для броска мяча так, чтобы он достиг высоты 14 метров после подпрыгивания, мы можем использовать закон сохранения энергии. В начальный момент времени, когда мяч бросают, его механическая энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия мяча в начальный момент равна массе мяча, ускорению свободного падения и высоте, на которую его подпрыгнули. В конечный момент, когда мяч достигает максимальной высоты, его потенциальная энергия равна сумме массы мяча, ускорению свободного падения и новой высоты. По закону сохранения энергии, потенциальная энергия мяча должна быть равна в начальный и конечный моменты времени.

Масса мяча составляет 500 г, что равно 0,5 кг. Высота, на которую мяч должен подпрыгнуть, равна 14 метрам. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с². Пусть начальная скорость мяча равна $v$.

Используя формулу для потенциальной энергии $E_p=m\cdot g\cdot h$, где $m$ - масса мяча, $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота, получаем:

$$0,5\text{кг}\cdot 9,8\text{м/с²}\cdot 14\text{м}=68,6\text{Дж}$$

Выражение для кинетической энергии в начальный момент времени ($E_{k1}$) и конечный момент времени ($E_{k2}$) может быть записано как:

$$E_{k1}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{кг}\cdot v^2$$
$$E_{k2}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{кг}\cdot 0^2=0$$

Так как закон сохранения энергии требует, чтобы потенциальная энергия была равна сумме кинетической энергии в начальный и конечный моменты времени, мы можем записать следующее уравнение:

$$E_p=E_{k1}+E_{k2}$$
$$68,6\text{Дж}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{кг}\cdot v^2$$

Решив это уравнение для $v^2$, получаем:

$$v^2=\frac{68,6\text{Дж}}{0,25\text{кг}}$$
$$v^2=274,4\text{Дж/кг}$$

Таким образом, начальная скорость, необходимая для броска мяча так, чтобы он достиг высоты 14 метров после подпрыгивания, равна примерно $v=\sqrt{274,4\text{Дж/кг}}$, что составляет около 16,56 м/с.