1. С момента броска мяча с высоты 12 метров над землей, определите механическую энергию мяча в момент удара о землю

Задача 1. Для определения механической энергии мяча в момент удара о землю мы можем использовать закон сохранения механической энергии. По этому закону сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы остается постоянной во всех точках движения. В начальный момент времени, когда мяч бросают, его потенциальная энергия равна массе мяча, ускорению свободного падения и высоте, с которой его бросили. В момент удара о землю, потенциальная энергия мяча равна нулю, а его кинетическая энергия достигает максимального значения.

Масса мяча составляет 500 г, что равно 0,5 кг. Высота с которой мяч бросили равна 12 метрам. Используя формулу для потенциальной энергии \(E_p = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота, получаем:

\[E_p = 0,5 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/c}^2 \cdot 12 \, \text{м} = 58,8 \, \text{Дж}\]

Теперь рассмотрим кинетическую энергию мяча в момент удара о землю. Используя формулу для кинетической энергии \(E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\), где \(m\) - масса мяча, \(v\) - скорость мяча, получаем:

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \, \text{кг} \cdot (12 \, \text{м/с})^2 = 36 \, \text{Дж}\]

Таким образом, механическая энергия мяча в момент удара о землю составляет 58,8 Дж + 36 Дж = 94,8 Дж.

Задача 2. Чтобы определить начальную скорость, необходимую для броска мяча так, чтобы он достиг высоты 14 метров после подпрыгивания, мы можем использовать закон сохранения энергии. В начальный момент времени, когда мяч бросают, его механическая энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия мяча в начальный момент равна массе мяча, ускорению свободного падения и высоте, на которую его подпрыгнули. В конечный момент, когда мяч достигает максимальной высоты, его потенциальная энергия равна сумме массы мяча, ускорению свободного падения и новой высоты. По закону сохранения энергии, потенциальная энергия мяча должна быть равна в начальный и конечный моменты времени.

Масса мяча составляет 500 г, что равно 0,5 кг. Высота, на которую мяч должен подпрыгнуть, равна 14 метрам. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с². Пусть начальная скорость мяча равна \(v\).

Используя формулу для потенциальной энергии \(E_p = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота, получаем:

\[0,5 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с²} \cdot 14 \, \text{м} = 68,6 \, \text{Дж}\]

Выражение для кинетической энергии в начальный момент времени (\(E_{k1}\)) и конечный момент времени (\(E_{k2}\)) может быть записано как:

\[E_{k1} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \, \text{кг} \cdot v^2\]
\[E_{k2} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \, \text{кг} \cdot 0^2 = 0\]

Так как закон сохранения энергии требует, чтобы потенциальная энергия была равна сумме кинетической энергии в начальный и конечный моменты времени, мы можем записать следующее уравнение:

\[E_p = E_{k1} + E_{k2}\]
\[68,6 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \, \text{кг} \cdot v^2\]

Решив это уравнение для \(v^2\), получаем:

\[v^2 = \frac{68,6 \, \text{Дж}}{0,25 \, \text{кг}}\]
\[v^2 = 274,4 \, \text{Дж/кг}\]

Таким образом, начальная скорость, необходимая для броска мяча так, чтобы он достиг высоты 14 метров после подпрыгивания, равна примерно \(v = \sqrt{274,4 \, \text{Дж/кг}}\), что составляет около 16,56 м/с.