1) Rephrase the question: Find the coordinates and length of vector a if a = 1/3b - c, where b has coordinates

1) Вам нужно найти координаты и длину вектора \(a\), если \(a = \frac{1}{3}b - c\), где \(b\) имеет координаты (3, -9), а \(c\) имеет координаты (-6, 2).

Шаг 1: Найдите вектор \(b - c\):
\[b - c = (3, -9) - (-6, 2) = (3 + 6, -9 - 2) = (9, -11)\]

Шаг 2: Найдите вектор \(a\) умножением \(b - c\) на \(\frac{1}{3}\):
\[a = \frac{1}{3}(9, -11) = \left(\frac{1}{3} \cdot 9, \frac{1}{3} \cdot -11\right) = (3, -\frac{11}{3})\]

Таким образом, координаты вектора \(a\) равны (3, -\frac{11}{3}), а его длина может быть найдена по формуле:
\[|a| = \sqrt{(3)^2 + \left(-\frac{11}{3}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{121}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}\]

Итак, координаты вектора \(a\) равны (3, -\frac{11}{3}), а его длина равна \(\frac{4\sqrt{10}}{3}\).

2) Вам нужно доказать, что ABCD является прямоугольником, а также найти координаты точки пересечения его диагоналей, если известны координаты вершин параллелограмма ABCD: A(-6, 1), B(0, 5), C(6, -4) и D(0, -8).

Для доказательства того, что ABCD - прямоугольник, мы должны проверить, соответствуют ли свойства прямоугольника этому параллелограмму. Одно из таких свойств - перпендикулярность диагоналей.

Первая диагональ AC имеет координаты:
\[AC = (-6, 1) - (6, -4) = (-6 - 6, 1 - (-4)) = (-12, 5)\]

Вторая диагональ BD имеет координаты:
\[BD = (0, 5) - (0, -8) = (0 - 0, 5 - (-8)) = (0, 13)\]

Теперь проверим, перпендикулярны ли эти диагонали, вычислив их скалярное произведение:
\[AC \cdot BD = (-12) \cdot (0) + (5) \cdot (13) = 0 + 65 = 65\]

Так как произведение не равно нулю, диагонали не являются перпендикулярными, следовательно, ABCD не является прямоугольником.

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей, мы можем воспользоваться формулой для нахождения средней точки отрезка. Положим точку пересечения равной \(X(x, y)\).

Средняя точка диагонали AC имеет координаты:
\[X = \left(\frac{-6 + 6}{2}, \frac{1 + (-4)}{2}\right) = (0, -\frac{3}{2})\]

Средняя точка диагонали BD имеет координаты:
\[X = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{5 + (-8)}{2}\right) = (0, -\frac{3}{2})\]

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей равны (0, -\frac{3}{2}).