1. Провести исследование на монотонность и наличие экстремумов у функции y = 3x^4 – 16x^3 + 24x^2 – 11. 2. Определить

Конечно, я с радостью помогу вам с этими задачами по анализу функций.

1. Для исследования монотонности и наличия экстремумов функции \(y = 3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11\) нам понадобится производная этой функции. Давайте найдем производную, чтобы определить, где функция возрастает или убывает:

\[y" = 12x^3 - 48x^2 + 48x.\]

Чтобы найти точки экстремумов, необходимо решить уравнение \(y" = 0.\)

\[12x^3 - 48x^2 + 48x = 0.\]

Мы можем преобразовать это уравнение:

\[12x(x^2 - 4x + 4) = 0.\]

Решим его:

\[x(x-2)^2 = 0.\]

Из этого уравнения видно, что у нас есть одна кратная корень \(x = 0\) и один двукратный корень \(x = 2.\)

Теперь, чтобы выяснить монотонность интервалов, разобъем их на подынтервалы, используя найденные корни:

1) При \(x < 0\) производная положительна \(y" > 0\). Это значит, что функция возрастает на этом интервале.
2) При \(0 < x < 2\) производная отрицательна \(y" < 0\). Это значит, что функция убывает на этом интервале.
3) При \(x > 2\) производная снова положительна \(y" > 0\). Значит, функция снова возрастает.

Теперь посмотрим на подынтервалы и найдем экстремумы:

1) Между \(-\infty\) и \(0\) функция возрастает.
2) Между \(0\) и \(2\) функция убывает, имея локальный максимум в точке \(x = 0\).
3) После \(x = 2\) функция снова возрастает.

Таким образом, данная функция имеет локальный максимум в точке \(x = 0\), а также является монотонно возрастающей на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((2, \infty)\), и монотонно убывающей на интервале \((0, 2)\).

2. Чтобы исследовать монотонность и наличие экстремумов у функции \(y = 2 + \frac{x^2}{x}\), найдем производную этой функции:

\[y" = \frac{d}{dx} \left(2 + \frac{x^2}{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 + x\right) = 1.\]

Производная этой функции равна постоянному значению \(1\). Это означает, что функция \(y\) является монотонно возрастающей и не имеет экстремумов.

3. Для функции \(y = x^4 - 8x^2 + 3\) найдем производную:

\[y" = \frac{d}{dx} \left(x^4 - 8x^2 + 3\right) = 4x^3 - 16x.\]

Чтобы найти точки экстремумов, решим уравнение \(y" = 0\):

\[4x^3 - 16x = 0.\]

Мы можем преобразовать это уравнение:

\[4x(x^2 - 4) = 0.\]

Решив его, мы получаем корни: \(x = 0\) и \(x = \pm 2.\)

Теперь разобъем интервалы:

1) При \(x < -2\) производная положительна \(y" > 0\). Это значит, что функция возрастает на этом интервале.
2) При \(-2 < x < 0\) производная отрицательна \(y" < 0\). Это значит, что функция убывает на этом интервале.
3) При \(0 < x < 2\) производная снова положительна \(y" > 0\). Значит, функция снова возрастает.
4) При \(x > 2\) производная отрицательна \(y" < 0\). Это значит, что функция убывает.

Теперь посмотрим на подынтервалы и найдем экстремумы:

1) Между \(-\infty\) и \(-2\) функция возрастает.
2) Между \(-2\) и \(0\) функция убывает, имея локальный минимум в точке \(x = -2\).
3) Между \(0\) и \(2\) функция снова возрастает, имея локальный минимум в точке \(x = 0\).
4) После \(x = 2\) функция снова убывает.

Таким образом, данная функция имеет два локальных минимума в точках \(x = -2\) и \(x = 0\). Она монотонно возрастает на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((0, \infty)\), а также монотонно убывает на интервалах \((-2, 0)\) и \((2, \infty)\).