1) Проверьте, верно ли утверждение: A x C = (A x (C B)) U (A x (C ∩ B)) для множеств: А = {1, 2} B = {2, 3} C

1) Начнем с проверки, верно ли утверждение $A\times C=(A\times (C\setminus B))\cup (A\times (C\cap B))$ для данных множеств:
$A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$, $C=\{1,3\}$.

Сначала найдем значения каждого выражения отдельно:
$A\times C=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$

$C\setminus B=\{1\}$, так как исключаем из множества $C$ все элементы, которые также присутствуют в множестве $B$.
$A\times (C\setminus B)=\{(1,1),(2,1)\}$

$C\cap B=\{2\}$, так как выбираем все общие элементы между $C$ и $B$.
$A\times (C\cap B)=\{(1,2),(2,2)\}$

Теперь объединим результаты:
$(A\times (C\setminus B))\cup (A\times (C\cap B))=\{(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)\}$

Итак, получили, что $A\times C=(A\times (C\setminus B))\cup (A\times (C\cap B))$.
Утверждение верно, так как содержит все элементы, которые присутствуют в $A\times C$.

2) Теперь проверим условие $A\cap B\subset C\Rightarrow A\cup B\subset (A+B)\cup (A\cap C)$ для произвольных множеств $A$, $B$ и $C$.
Обратите внимание, что в условии использованы также операции $+$ и $\subset$.

$A\cap B$ обозначает пересечение множеств $A$ и $B$, то есть множество, содержащее все элементы, которые присутствуют одновременно и в $A$, и в $B$.
$A\cup B$ обозначает объединение множеств $A$ и $B$, то есть множество, содержащее все элементы из $A$ и все элементы из $B$.

Выражение $(A+B)$ означает сумму множеств $A$ и $B$, которая включает все элементы из $A$ и все элементы из $B$ без повторений.
Выражение $A\subset B$ означает, что все элементы множества $A$ также принадлежат множеству $B$, то есть $A$ является подмножеством $B$.

Чтобы проверить условие, начнем с предположения, что $A\cap B\subset C$. Это означает, что все элементы, входящие в пересечение $A$ и $B$, также входят в $C$.

Вторая часть условия $A\cup B\subset (A+B)\cup (A\cap C)$ означает, что все элементы, входящие в объединение $A$ и $B$, также входят в объединение $(A+B)$ и $(A\cap C)$.

Теперь сравним каждое выражение:

$A\cap B$ - пересечение $A$ и $B$.
$C$ - множество $C$.

$A\cup B$ - объединение $A$ и $B$.
$(A+B)\cup (A\cap C)$ - объединение суммы $A$ и $B$ и пересечения $A$ и $C$.

Если все элементы из $A\cup B$ принадлежат $(A+B)\cup (A\cap C)$, то условие выполняется.

3) Теперь перейдем к заданию связанному соответствию $Г=(X,Y,G)$:
$X=\{a,b,c,e\}$, $Y=\{1,2,3\}$, $G=\{(a,3),(b,2),(c,1),(e,3)\}$.

1. Чтобы представить соответствие в виде графа, нарисуем вершины для каждого элемента из $X$ и каждого элемента из $Y$.
Затем проведем ребра, соединяющие каждый элемент $x$ из $X$ и соответствующий ему элемент $y$ из $Y$ в соответствии с соответствием $G$.

$$\begin{array}{cccc}& 1& 2& 3\\ a& & & \bullet \\ b& & \bullet & \\ c& \bullet & & \\ e& & & \bullet \end{array}$$

2. Определим особенности соответствия:
- Определенность: Здесь не присутствуют пустые элементы в $X$, то есть каждому элементу из $X$ соответствует какой-то элемент из $Y$. Поэтому это соответствие является определенным.
- Сюръективность: Сюръективное соответствие означает, что нет элемента в $Y$, который не соответствует ни одному элементу из $X$. В данном случае каждый элемент из $Y$ соответствует хотя бы одному элементу из $X$, поэтому это сюръективное соответствие.
- Инъективность: Инъективное соответствие означает, что каждому элементу в $Y$ соответствует не более одного элемента из $X$. В данном случае нет двух разных элементов в $X$, соответствующих одному и тому же элементу в $Y$, поэтому это инъективное соответствие.

3. Построим соответствие между бесконечными множествами с тем же набором свойств, что и $Г=(X,Y,G)$. Пусть $X_{\mathrm{\infty }}$ - бесконечное множество элементов и $Y_{\mathrm{\infty }}$ - бесконечное множество элементов.

Соответствие между бесконечными множествами можно построить, используя аналогию с предыдущим соответствием.

Таким образом, можно создать бесконечные множества $X_{\mathrm{\infty }}$ и $Y_{\mathrm{\infty }}$, используя элементы из $X$ и $Y$ и повторяя их бесконечное количество раз.

$X_{\mathrm{\infty }}=\{a,b,c,e,a,b,c,e,a,b,c,e,...\}$

$Y_{\mathrm{\infty }}=\{1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,...\}$

Таким образом, мы построили соответствие между бесконечными множествами, которое обладает тем же набором свойств, что и $Г=(X,Y,G)$.