1) Проверьте, верно ли утверждение: A x C = (A x (C B)) U (A x (C ∩ B)) для множеств: А = {1, 2} B = {2, 3} C

1) Начнем с проверки, верно ли утверждение \(A \times C = (A \times (C \setminus B)) \cup (A \times (C \cap B))\) для данных множеств:
\(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\), \(C = \{1, 3\}\).

Сначала найдем значения каждого выражения отдельно:
\(A \times C = \{(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)\}\)

\(C \setminus B = \{1\}\), так как исключаем из множества \(C\) все элементы, которые также присутствуют в множестве \(B\).
\(A \times (C \setminus B) = \{(1, 1), (2, 1)\}\)

\(C \cap B = \{2\}\), так как выбираем все общие элементы между \(C\) и \(B\).
\(A \times (C \cap B) = \{(1, 2), (2, 2)\}\)

Теперь объединим результаты:
\((A \times (C \setminus B)) \cup (A \times (C \cap B)) = \{(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2)\}\)

Итак, получили, что \(A \times C = (A \times (C \setminus B)) \cup (A \times (C \cap B))\).
Утверждение верно, так как содержит все элементы, которые присутствуют в \(A \times C\).

2) Теперь проверим условие \(A \cap B \subset C \Rightarrow A \cup B \subset (A + B) \cup (A \cap C)\) для произвольных множеств \(A\), \(B\) и \(C\).
Обратите внимание, что в условии использованы также операции \(+\) и \(\subset\).

\(A \cap B\) обозначает пересечение множеств \(A\) и \(B\), то есть множество, содержащее все элементы, которые присутствуют одновременно и в \(A\), и в \(B\).
\(A \cup B\) обозначает объединение множеств \(A\) и \(B\), то есть множество, содержащее все элементы из \(A\) и все элементы из \(B\).

Выражение \((A + B)\) означает сумму множеств \(A\) и \(B\), которая включает все элементы из \(A\) и все элементы из \(B\) без повторений.
Выражение \(A \subset B\) означает, что все элементы множества \(A\) также принадлежат множеству \(B\), то есть \(A\) является подмножеством \(B\).

Чтобы проверить условие, начнем с предположения, что \(A \cap B \subset C\). Это означает, что все элементы, входящие в пересечение \(A\) и \(B\), также входят в \(C\).

Вторая часть условия \(A \cup B \subset (A + B) \cup (A \cap C)\) означает, что все элементы, входящие в объединение \(A\) и \(B\), также входят в объединение \((A + B)\) и \((A \cap C)\).

Теперь сравним каждое выражение:

\(A \cap B\) - пересечение \(A\) и \(B\).
\(C\) - множество \(C\).

\(A \cup B\) - объединение \(A\) и \(B\).
\((A + B) \cup (A \cap C)\) - объединение суммы \(A\) и \(B\) и пересечения \(A\) и \(C\).

Если все элементы из \(A \cup B\) принадлежат \((A + B) \cup (A \cap C)\), то условие выполняется.

3) Теперь перейдем к заданию связанному соответствию \(Г = (X, Y, G)\):
\(X = \{a, b, c, e\}\), \(Y = \{1, 2, 3\}\), \(G = \{(a,3), (b,2), (c,1), (e,3)\}\).

1. Чтобы представить соответствие в виде графа, нарисуем вершины для каждого элемента из \(X\) и каждого элемента из \(Y\).
Затем проведем ребра, соединяющие каждый элемент \(x\) из \(X\) и соответствующий ему элемент \(y\) из \(Y\) в соответствии с соответствием \(G\).

\[
\begin{array}{ccc}
& 1 & 2 & 3 \\
a & & & \bullet \\
b & & \bullet & \\
c & \bullet & & \\
e & & & \bullet \\
\end{array}
\]

2. Определим особенности соответствия:
- Определенность: Здесь не присутствуют пустые элементы в \(X\), то есть каждому элементу из \(X\) соответствует какой-то элемент из \(Y\). Поэтому это соответствие является определенным.
- Сюръективность: Сюръективное соответствие означает, что нет элемента в \(Y\), который не соответствует ни одному элементу из \(X\). В данном случае каждый элемент из \(Y\) соответствует хотя бы одному элементу из \(X\), поэтому это сюръективное соответствие.
- Инъективность: Инъективное соответствие означает, что каждому элементу в \(Y\) соответствует не более одного элемента из \(X\). В данном случае нет двух разных элементов в \(X\), соответствующих одному и тому же элементу в \(Y\), поэтому это инъективное соответствие.

3. Построим соответствие между бесконечными множествами с тем же набором свойств, что и \(Г = (X, Y, G)\). Пусть \(X_{\infty}\) - бесконечное множество элементов и \(Y_{\infty}\) - бесконечное множество элементов.

Соответствие между бесконечными множествами можно построить, используя аналогию с предыдущим соответствием.

Таким образом, можно создать бесконечные множества \(X_{\infty}\) и \(Y_{\infty}\), используя элементы из \(X\) и \(Y\) и повторяя их бесконечное количество раз.

\(X_{\infty} = \{a, b, c, e, a, b, c, e, a, b, c, e, ...\}\)

\(Y_{\infty} = \{1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ...\}\)

Таким образом, мы построили соответствие между бесконечными множествами, которое обладает тем же набором свойств, что и \(Г = (X, Y, G)\).