Каково значение производной f (x0), если: 1) u(x0)=4 и u (x0)=2; 2) v(x0)=−2 и v (x0)=4; 3) f(x)=u(x)v(x)?

Конечно! Давайте рассмотрим каждый из трех случаев по отдельности и найдем значение второй производной функции \(f""(x_0)\) для каждого из них.

1) В первом случае у нас даны значения функции \(u(x_0) = 4\) и второй производной \(u""(x_0) = 2\). Мы знаем, что функция \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\), поэтому нам потребуется найти значение второй производной \(f""(x_0)\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

\[
f""(x) = (u \cdot v)""(x) = (u" \cdot v + u \cdot v")(x)
\]

где \(u"\) и \(v"\) обозначают первые производные функций \(u\) и \(v\) соответственно. Также, учитывая, что \(u(x_0) = 4\) и \(v(x_0)\) неизвестно, мы можем выразить вторую производную \(f""(x_0)\) только через данную информацию.

Для того, чтобы найти значение второй производной \(f""(x_0)\), необходимо продифференцировать функцию \(f(x)\) дважды. Первый шаг - найти значение \(f"(x)\):

\[
f"(x) = (u" \cdot v + u \cdot v")
\]

Теперь продифференцируем \(f"(x)\), чтобы найти \(f""(x)\):

\[
f""(x) = (u"" \cdot v + 2u" \cdot v" + u \cdot v"")
\]

В нашем случае \(u""(x_0) = 2\), и нам дано значение, \(u(x_0) = 4\), поэтому мы можем заменить соответствующие переменные и найти значение \(f""(x_0)\):

\[
f""(x_0) = (2 \cdot v(x_0) + 2 \cdot u"(x_0) \cdot v"(x_0) + 4 \cdot v""(x_0))
\]

2) Во втором случае у нас даны значения функции \(v(x_0) = -2\) и второй производной \(v""(x_0) = 4\). Процедура для нахождения значения \(f""(x_0)\) будет аналогична первому случаю, единственное различие - значения \(u(x_0)\) и \(u""(x_0)\) нам неизвестны. Воспользуемся той же формулой:

\[
f""(x_0) = (2 \cdot v(x_0) + 2 \cdot u"(x_0) \cdot v"(x_0) + 4 \cdot v""(x_0))
\]

Подставляем значения и находим:

\[
f""(x_0) = (2 \cdot (-2) + 2 \cdot u"(x_0) \cdot v"(x_0) + 4 \cdot 4) = (-4 + 8 + 16) = 20
\]

3) В третьем случае нам дана функция \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\), но значения \(u(x_0)\) и \(v(x_0)\), а также их производные, неизвестны. Поэтому нам необходимо дополнительную информацию, чтобы вычислить значение \(f""(x_0)\).

Вот исчерпывающий ответ на ваш вопрос. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад вам помочь!