1. Приведите два варианта решения уравнения 2y - 3x = 0. 2. Определите координаты точек пересечения прямой 2x + y

1. Уравнение 2y - 3x = 0 можно решить двумя способами:

Первый способ:
Выразим y через x:

2y = 3x (прибавили 3x к обоим частям уравнения)
y = (3/2)x (разделили обе части на 2)

Второй способ:
Выразим x через y:

3x = 2y (прибавили 2y к обоим частям уравнения)
x = (2/3)y (разделили обе части на 3)

2. Для определения координат точек пересечения прямой 2x + y = 4 с осями координат, подставим x и y равные 0 в уравнение и решим получающуюся систему уравнений:

Подставим x = 0:
2(0) + y = 4
y = 4

То есть точка пересечения с осью y имеет координаты (0, 4).

Подставим y = 0:
2x + 0 = 4
2x = 4
x = 2

То есть точка пересечения с осью x имеет координаты (2, 0).

Таким образом, точки пересечения прямой 2x + y = 4 с осями координат имеют координаты (0, 4) и (2, 0).

3. Чтобы построить прямую с использованием уравнения y = x + 4, мы можем использовать точку пересечения с осью y, которая имеет координаты (0, 4), и угловой коэффициент 1, который соответствует коэффициенту при x в уравнении.

Используя эти данные, можно построить график прямой, проведя линию, проходящую через точку (0, 4) и имеющую угловой коэффициент 1. Получится прямая, которая поднимается на 1 по вертикали (y-координате) за каждый 1 шаг вправо (x-координате).

4. Для нахождения координат точки пересечения прямых x + 2y = 6 и x - y = 4 воспользуемся методом сложения:

x + 2y = 6 (1)
x - y = 4 (2)

Умножим уравнение (2) на 2, чтобы избавиться от коэффициента при x:

2x - 2y = 8 (3)

Теперь сложим уравнения (1) и (3):

(x + 2y) + (2x - 2y) = 6 + 8
3x = 14
x = 14/3

Подставим значение x в уравнение (2):

(14/3) - y = 4
y = (14/3) - 4
y = -2/3

Таким образом, координаты точки пересечения прямых x + 2y = 6 и x - y = 4 равны (14/3, -2/3).

5. Чтобы определить, являются ли числа (-2; 1) решением данной системы уравнений, подставим их значения в уравнения системы:

Первое уравнение: x + 2y = 6

(-2) + 2(1) = 6
-2 + 2 = 6
0 = 6

Уравнение не выполняется, так как 0 не равно 6. Следовательно, числа (-2; 1) не являются решением данной системы уравнений.

6. Решим систему уравнений методом подстановки:

У нас есть система уравнений:
\[
\begin{align*}
x + y &= 5 \\
2x - y &= 1 \\
\end{align*}
\]

Сначала возьмем первое уравнение и выразим в нем одну переменную через другую. Выберем, например, выразить \(x\):

\(x = 5 - y\)

Подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\(2(5 - y) - y = 1\)

Раскроем скобки и решим уравнение:

\(10 - 2y - y = 1\)

\(10 - 3y = 1\)

\(-3y = 1 - 10\)

\(-3y = -9\)

\(y = -9/-3\)

\(y = 3\)

Теперь найдем \(x\) с помощью первого уравнения:

\(x = 5 - y\)

\(x = 5 - 3\)

\(x = 2\)

Итак, решение системы уравнений методом подстановки: \(x = 2\) и \(y = 3\).

7. Решим систему уравнений методом сложения. У нас есть система уравнений:
\[
\begin{align*}
2x + y &= 5 \\
x - y &= 1 \\
\end{align*}
\]

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от \(y\):

\[
\begin{align*}
2x + y &= 5 \\
2x - 2y &= 2 \\
\end{align*}
\]

Теперь сложим оба уравнения:

\[
(2x + y) + (2x - 2y) = 5 + 2
\]

\[
4x - y = 7
\]

Теперь имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
2x + y &= 5 \\
4x - y &= 7 \\
\end{align*}
\]

Сложим оба уравнения:

\[
(2x + y) + (4x - y) = 5 + 7
\]

\[
6x = 12
\]

\[
x = 12/6
\]

\[
x = 2
\]

Теперь найдем значение \(y\) путем подстановки \(x\) в одно из исходных уравнений. Возьмем, например, первое уравнение:

\[
2(2) + y = 5
\]

\[
4 + y = 5
\]

\[
y = 5 - 4
\]

\[
y = 1
\]

Итак, решение системы уравнений методом сложения: \(x = 2\) и \(y = 1\).

8. Для нахождения стоимости одной ватрушки и одной плюшки, воспользуемся системой уравнений:

Пусть цена одной ватрушки будет \(x\) рублей, а цена одной плюшки будет \(y\) рублей.

Условие гласит, что три ватрушки и пять плюшек стоят 45 рублей:

\[3x + 5y = 45\] (1)

Также условие гласит, что пять ватрушек и три плюшки стоят 43 рубля:

\[5x + 3y = 43\] (2)

Решим систему уравнений методом сложения.

Умножим уравнение (1) на 3 и уравнение (2) на 5:

\[9x + 15y = 135\] (3)
\[25x + 15y = 215\] (4)

Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\[(25x + 15y) - (9x + 15y) = 215 - 135\]

Упростим:

\[16x = 80\]

\[x = 5\]

Подставим значение \(x\) в уравнение (1):

\[3(5) + 5y = 45\]
\[15 + 5y = 45\]
\[5y = 45 - 15\]
\[5y = 30\]
\[y = 6\]

Таким образом, стоимость одной ватрушки составляет 5 рублей, а стоимость одной плюшки составляет 6 рублей.