1. При заданном правиле, определяется ли функция y = f(x), если: для x < 0, f(x) = -x; для -1 ≤ x < 1, f(x) = x

Хорошо, давайте решим поставленную задачу по порядку.

1. Проверка заданного правила:
Для определения, соответствует ли функция \(y = f(x)\) заданному правилу, нужно найти соответствующую формулу для каждого интервала значений \(x\) и убедиться, что они совпадают с данными правилами.

a) Для \(x < 0\) функция определена как \(f(x) = -x\).
b) Для \(-1 \leq x < 1\) функция определена как \(f(x) = x - 1\).
c) Для \(1 \leq x < 2\) функция определена как \(f(x) = 3 - x\).
d) Для \(x \geq 2\) функция определена как \(f(x) = -4\).
e) Для \(1 < x < 4\) функция определена как \(f(x) = x + 1\).

Таким образом, наше заданное правило определяет функцию \(y = f(x)\).

2. Выполнение дополнительных действий:

а) Область определения функции:
Область определения - это множество всех значений \(x\), при которых функция определена. Обратите внимание, что у нас есть определение функции для всех возможных значений \(x\). Таким образом, область определения функции \(y = f(x)\) - это множество всех реальных чисел \(\mathbb{R}\).

б) Вычисление значений функции:
1) Для \(x = -3\) функция определена на интервале \(x < 0\) и имеет формулу \(f(x) = -x\). Подставляя \(x = -3\), мы получаем: \(f(-3) = -(-3) = 3\).
2) Для \(x = 2\) функция определена на интервале \(x \geq 2\) и имеет формулу \(f(x) = -4\). Подставляя \(x = 2\), мы получаем: \(f(2) = -4\).
3) Для \(x = 6\) функция определена на интервале \(1 < x < 4\) и имеет формулу \(f(x) = x + 1\). Подставляя \(x = 6\), мы получаем: \(f(6) = 6 + 1 = 7\).

в) Построение графика функции:
Для построения графика функции \(y = f(x)\), нам нужно нанести на координатную плоскость точки, соответствующие значениям функции при разных значениях \(x\), и затем соединить их линиями.

График функции \(y = f(x)\):
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
x < -1 & -x \\
-1 \leq x < 1 & x - 1 \\
1 \leq x < 2 & 3 - x \\
x \geq 2 & -4 \\
1 < x < 4 & x + 1 \\
\hline
\end{array}
\]

г) Определение интервалов монотонности функции:
Интервалы монотонности функции - это интервалы значений \(x\), на которых функция возрастает или убывает. Чтобы найти эти интервалы, нам нужно проанализировать изменение знака производной функции.

Для функции \(y = f(x)\):
- На интервале \(x < -1\) функция убывает, так как \(f"(x) < 0\) для всех \(x < -1\).
- На интервале \(-1 \leq x < 1\) функция возрастает, так как \(f"(x) > 0\) для всех \(-1 \leq x < 1\).
- На интервале \(1 \leq x < 2\) функция убывает, так как \(f"(x) < 0\) для всех \(1 \leq x < 2\).
- На интервале \(x \geq 2\) функция постоянна, так как \(f"(x) = 0\) для всех \(x \geq 2\).
- На интервале \(1 < x < 4\) функция возрастает, так как \(f"(x) > 0\) для всех \(1 < x < 4\).

Таким образом, интервалы монотонности функции \(y = f(x)\) следующие:
- Убывание на интервале \(x < -1\),
- Возрастание на интервале \(-1 \leq x < 1\) и на интервале \(1 < x < 4\),
- Постоянство на интервале \(x \geq 2\).

2. Исследование функции \(y = kx - 2 + х\) на парность:
Для исследования функции на парность, мы должны проверить, выполняется ли равенство \(f(x) = f(-x)\) для всех значений \(x\) в области определения функции.

Для функции \(y = kx - 2 + x\):
\(f(-x) = k(-x) - 2 + (-x) = -kx - 2 - x\)

Если \(f(x) = f(-x)\), то:
\(kx - 2 + x = -kx - 2 - x\)

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) по обе стороны равенства:
1) Для коэффициентов при \(x^1\) получаем \(k = -k\). Чтобы это было верно, коэффициент \(k\) должен быть равен нулю.
2) Для свободных членов получаем \(-2 = -2\), что верно, независимо от значения \(k\).

Таким образом, функция \(y = kx - 2 + x\) является четной, если \(k = 0\), иначе она не является четной.

Я надеюсь, что эта подробная информация помогла вам разобраться с задачей. Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужно что-то еще, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!