1. При каком d векторы МО и Ск будут коллинеарными, если М(-2;-1), 0(4;-3), C(-1; d-1), K(-4;-1)? 2. Найдите координаты

1. Для того чтобы векторы МО и Ск были коллинеарными, их координаты должны быть пропорциональными.

Давайте найдем координаты вектора МО:

\[\vec{MO} = \vec{O} - \vec{M} = (0-(-2); 3-(-1)) = (2; 4).\]

Теперь найдем координаты вектора Ск:

\[\vec{Сk} = \vec{k} - \vec{C} = (-3-(-1); 1-(d-1)) = (-2; 2-d).\]

Чтобы векторы МО и Ск были коллинеарными, их координаты должны быть пропорциональными. То есть:

\[\frac{2}{-2} = \frac{4}{2-d}.\]

Мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на (-2):

\[-2 \cdot \frac{2}{-2} = -2 \cdot \frac{4}{2-d}.\]

Получаем:

\[4 = \frac{-8}{2-d}.\]

Теперь умножим обе стороны на (2-d):

\[4(2-d) = -8.\]

Раскроем скобки:

\[8 - 4d = -8.\]

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

\[8 + 8 = 4d.\]

\[16 = 4d.\]

Разделим обе стороны на 4:

\[\frac{16}{4} = d.\]

\[d = 4.\]

Таким образом, векторы МО и Ск будут коллинеарными, если \(d = 4.\)

2. Для нахождения координат вектора \(2\vec{c} - \vec{r}\) мы должны первоначально найти координаты векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{r}\).

Координаты вектора \(\vec{c}\) можно найти как разность координат двух заданных точек:

\[\vec{c} = (4-(-3), -1-1) = (7, -2).\]

Координаты вектора \(\vec{r}\) равны разности координат двух заданных точек:

\[\vec{r} = (4-(-3), -1-1) = (7, -2).\]

Теперь, чтобы найти координаты вектора \(2\vec{c} - \vec{r}\), умножим каждую координату вектора \(\vec{c}\) на 2 и вычтем соответствующую координату вектора \(\vec{r}\):

\(2\vec{c} - \vec{r} = (2 \cdot 7 - 7, 2 \cdot (-2) - (-2)) = (14 - 7, -4 + 2) = (7, -2).\)

Таким образом, координаты вектора \(2\vec{c} - \vec{r}\) равны (7, -2).

3. Длины сторон МО и КС квадрата МОКС равны 1, поскольку мы знаем, что стороны квадрата имеют одинаковую длину.

4. Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника СРМ, мы должны вычислить длины сторон треугольника и затем использовать формулу косинуса. Давайте сначала найдем длины сторон треугольника СРМ, используя формулу расстояния между двумя точками:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Для стороны СР:

\(d_{CR} = \sqrt{(-2-6)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.\)

Для стороны RM:

\(d_{RM} = \sqrt{(2-6)^2 + (-6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.\)

Для стороны CM:

\(d_{CM} = \sqrt{(-2-2)^2 + (8-(-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (14)^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \approx 14.56.\)

Теперь применим формулу косинуса для меньшего угла треугольника:

\(\cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника.

Для треугольника СРМ:

\(a = d_{CR} = 10,\)
\(b = d_{RM} = 4\sqrt{5},\)
\(c = d_{CM} \approx 14.56.\)

Теперь мы можем вычислить косинус меньшего угла треугольника:

\(\cos(\theta) = \frac{10^2 + (4\sqrt{5})^2 - (14.56)^2}{2 \cdot 10 \cdot 4\sqrt{5}}.\)

\(\cos(\theta) = \frac{100 + 80 - 212}{80\sqrt{5}}.\)

\(\cos(\theta) = \frac{-32}{80\sqrt{5}}.\)

\(\cos(\theta) = \frac{-4}{10\sqrt{5}}.\)

\(\cos(\theta) = -\frac{2}{5\sqrt{5}}.\)

Таким образом, косинус меньшего угла треугольника СРМ равен \(-\frac{2}{5\sqrt{5}}\).