Яка довжина катету XK в прямокутному трикутнику AXK, де X = 90°, а бісектриса кута XAK дорівнює 60°, якщо довжина

Давайте решим задачу о длине катета XK в прямоугольном треугольнике AXK, где X = 90°, а биссектриса угла XAK равна 60°, если длина XC равна \(a\).

Сначала, давайте построим данную ситуацию на координатной плоскости, чтобы наглядно представить себе треугольник AXK. Пусть точка X будет находиться в начале координат (0, 0), точка A будет находиться на оси OX, а точка K будет находиться на оси OY.

Так как угол XAK равен 60°, то биссектриса этого угла разделит треугольник AXK на два равных угла. Обозначим точку, где биссектриса пересекается с стороной XK, как точку M. Тогда угол AMX также равен 60°.

Далее, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. Угол AMC равен 90°, а угол AMX равен 60°. Из этого следует, что угол MAC также равен 30°. Таким образом, треугольник AMC - равнобедренный треугольник с углом 30° и стороной MC равной \(a\).

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы знаем, что угол MCA равен углу MAC, то есть 30°. Таким образом, треугольник MXC также является равнобедренным треугольником.

В равнобедренном треугольнике две стороны, соединяющие вершину с основанием, равны между собой. Таким образом, длина MX равна длине MC, которая в свою очередь равна \(a\).

Теперь мы знаем, что длина катета MX равна \(a\). Однако, нам нужно найти длину катета XK. Зная, что треугольник XMK - равнобедренный, мы можем сказать, что длина XK также равна \(a\).

Таким образом, мы можем утверждать, что длина катета XK равна \(a\).

Ответ: Длина катета XK равна \(a\).