1. Пожалуйста, решите данную систему уравнений: x - 2y = 1 и |xy + y = 12. 2. Найдите стороны прямоугольника, если одна

1. Решение данной системы уравнений:

Исходная система уравнений:
\[
\begin{align*}
x - 2y &= 1 \\
\left|xy + y\right| &= 12
\end{align*}
\]

Для начала, рассмотрим уравнение \(xy + y = 12\). Выразим \(y\) через \(x\):
\[
y(x + 1) = 12 \implies y = \frac{12}{x + 1}
\]

Подставим это значение \(y\) в первое уравнение:
\[
x - 2\left(\frac{12}{x + 1}\right) = 1
\]

Раскроем скобки и приведем подобные:

\[
x - \frac{24}{x + 1} = 1
\]

Умножим обе части уравнения на \(x + 1\) для устранения знаменателя:

\[
x(x + 1) - 24 = x + 1
\]

Раскроем скобки и приведем подобные:

\[
x^2 + x - 24 = x + 1
\]

Упростим:

\[
x^2 = 25
\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[
x = \pm 5
\]

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\). Подставим \(x = 5\) в первое уравнение:

\[
5 - 2y = 1 \implies -2y = -4 \implies y = 2
\]

Подставим \(x = -5\) в первое уравнение:

\[
-5 - 2y = 1 \implies -2y = 6 \implies y = -3
\]

Таким образом, система уравнений имеет два решения: \((5, 2)\) и \((-5, -3)\).

2. Найдем стороны прямоугольника, если одна из сторон больше другой на 7 см, а диагональ равна 13 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см, а другая сторона равна \(x + 7\) см. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, катеты равны \(x\) и \(x+7\), а гипотенуза (диагональ) равна 13:

\[
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169
\]

Соберем все слагаемые влево:

\[
2x^2 + 14x - 120 = 0
\]

Разделим все слагаемые на 2 для упрощения:

\[
x^2 + 7x - 60 = 0
\]

Найдем корни этого квадратного уравнения. Разложим его на множители или воспользуемся формулой дискриминанта:

\[
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289
\]

\[x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2} \]

Таким образом, получаем два значения для \(x\): \(x_1 = -12\) и \(x_2 = 5\).

Подставим эти значения в уравнение \(x + 7\) для нахождения другой стороны прямоугольника:

Для \(x_1 = -12\): \(x_1 + 7 = -12 + 7 = -5\)

Для \(x_2 = 5\): \(x_2 + 7 = 5 + 7 = 12\)

Таким образом, стороны прямоугольника равны либо -5 см и 12 см, либо 12 см и -5 см. Учитывая, что длина не может быть отрицательной, стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см.

3. Найдем координаты точки пересечения окружности \(x^2 + y = 5\) и прямой \(x + z = 7\) без построения.

Система уравнений состоит из окружности и прямой:

\[
\begin{align*}
x^2 + y &= 5 \\
x + z &= 7
\end{align*}
\]

Подставим выражение \(z = 7 - x\) в уравнение окружности:

\[
x^2 + y = 5 \implies y = 5 - x^2
\]

Теперь получим уравнение прямой, заменив \(y\) во втором уравнении:

\[
x + (7 - x) = 7 \implies x - x = 0
\]

Сократим это уравнение:

\[
0 = 0
\]

Таким образом, уравнение \(0 = 0\) верно для любых значений \(x\). Это означает, что прямая и окружность пересекаются во всех точках. Мы не можем определить конкретные координаты точки пересечения без дополнительной информации.

4. Нарисуем на координатной плоскости множество решений системы неравенств \(y > 1\) и \(1 < x < 5\).

Сначала нарисуем границы каждого неравенства:

\(y > 1\) - это полуплоскость над прямой \(y = 1\) включая саму прямую.

\[
\begin{array}{l}
\text{Точная прямая}: y = 1 \\
\text{Полуплоскость над прямой}: y > 1
\end{array}
\]

\(1 < x < 5\) - это интервал на оси \(x\) между 1 и 5, не включая границы.

\[
\begin{array}{l}
\text{Левая граница}: x = 1 \\
\text{Правая граница}: x = 5 \\
\text{Интервал}: 1 < x < 5
\end{array}
\]

Теперь нарисуем эти границы на координатной плоскости:

\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
6 & & & & & & & & \\
\hline
5 & & & & & & & & \\
\hline
4 & & & & & & & & \\
\hline
3 & & & & & & & & \\
\hline
2 & & & & & & & & \\
\hline
1 & & & & & & & & \\
\hline
0 & & & & & & & & \\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]

Скрести границы неравенств, мы получаем прямоугольник на плоскости. Множество решений системы неравенств представляет собой все точки внутри этого прямоугольника.

5. Решим данную систему уравнений: \(x + 5x - y = 12\) и \(y + 2x = 15\).

Исходная система уравнений:
\[
\begin{align*}
x + 5x - y &= 12 \\
y + 2x &= 15
\end{align*}
\]

Для начала, сложим левые и правые части обоих уравнений для упрощения системы:

\[
6x - y = 12 \quad \text{(1)}
\]
\[
2x + y = 15 \quad \text{(2)}
\]

Прежде чем приступить к решению системы, выразим одну переменную через другую, чтобы избавиться от одной из них.

Для этого сложим уравнение \((1)\) и уравнение \((2)\):

\[
6x - y + 2x + y = 12 + 15 \implies 8x = 27 \implies x = \frac{27}{8}
\]

Теперь, найдем \(y\), подставив значение \(x\) в любое из исходных уравнений:

\[
2\left(\frac{27}{8}\right) + y = 15 \implies \frac{27}{4} + y = 15 \implies y = 15 - \frac{27}{4}
\]

Упростим:

\[
y = \frac{45}{4} - \frac{27}{4} = \frac{45 - 27}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}
\]

Таким образом, решение системы уравнений: \(x = \frac{27}{8}\) и \(y = \frac{9}{2}\).