1. Постройте график функции у = х2-6х+3 и ответьте на следующие вопросы с помощью графика: а) где находятся корни

Конечно, я с радостью помогу вам с этими задачами! Давайте начнем с первой задачи.

1. Построение графика функции \(y = x^2 - 6x + 3\):
Для построения графика этой функции мы можем использовать несколько подходов. Один из них - построение таблицы значений и последующая отрисовка точек на координатной плоскости. Другой подход - использование свойств параболы. В этом случае, для начала нам необходимо найти вершину параболы, а затем определить, в какую сторону она открывается и где находятся ее корни.

а) Найдем корни функции:
Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение:
\[x^2 - 6x + 3 = 0\]
Дискриминант этого квадратного уравнения равен:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24\]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
\[x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{6 + \sqrt{24}}}{{2}} = 3 + 2\sqrt{6}\]
\[x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{6 - \sqrt{24}}}{{2}} = 3 - 2\sqrt{6}\]
Таким образом, корни функции находятся в точках \(x_1 = 3 + 2\sqrt{6}\) и \(x_2 = 3 - 2\sqrt{6}\).

б) Определим интервалы, где \(y\) больше 0 и где \(y\) меньше 0:
Чтобы найти интервалы, где \(y\) больше 0 и где \(y\) меньше 0, мы можем проанализировать график функции. Заметим, что парабола \(y = x^2 - 6x + 3\) открывается вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положительный). Значит, график будет выглядеть как "U". Теперь мы можем найти интервалы, где \(y > 0\) и \(y < 0\).

Интервалы, где \(y > 0\):
\[x < 3 - 2\sqrt{6}\] и \[x > 3 + 2\sqrt{6}\]

Интервалы, где \(y < 0\):
\[3 - 2\sqrt{6} < x < 3 + 2\sqrt{6}\]

в) Определим интервалы, на которых функция возрастает и убывает:
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать коэффициент перед \(x\) (то есть коэффициент при \(x^1\)). В данном случае, коэффициент равен -6, что отрицательное число. Значит, график функции будет убывать на всей его области определения, то есть на интервале (-∞, +∞).

г) Найдем наименьшее значение функции:
Чтобы найти наименьшее значение функции, нам необходимо найти координаты вершины параболы. Для параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) вершина находится в точке \((h, k)\), где:
\[h = -\frac{b}{2a}\]
\[k = -\frac{D}{4a}\]
Находим вершину:
\[h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]
\[k = -\frac{24}{4} = -6\]
Таким образом, наименьшее значение функции равно -6.

2. Определение области значений функции \(y = -x^2 - 8x + 1\):
Область значений функции - это множество всех возможных значений \(y\) при заданных значениях \(x\).

Чтобы найти область значений функции, нужно проанализировать график параболы \(y = -x^2 - 8x + 1\). Заметим, что коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(-1\)), это значит, что парабола будет открываться вниз. Таким образом, вершина параболы будет самой высокой точкой графика.

Найдем координаты вершины:
\[h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot -1} = 4\]
\[k = -\frac{D}{4a} = -\frac{16}{4} = -4\]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \((4, -4)\).

Так как парабола открывается вниз, наименьшее значение функции будет равно координате \(k\) вершины параболы. То есть, наименьшее значение функции равно -4.

Следовательно, область значений функции \(y = -x^2 - 8x + 1\) будет \(-\infty < y \leq -4\).

3. Нахождение координат точек пересечения параболы \(y = \frac{1}{4}x^2\) и прямой \(y = 5x - 16\):
Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой.

Подставим \(y\) из прямой в уравнение параболы:
\[\frac{1}{4}x^2 = 5x - 16\]
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[x^2 = 20x - 64\]
Перепишем уравнение в квадратном виде:
\[x^2 - 20x + 64 = 0\]
Факторизуем этот квадратный трехчлен:
\[(x - 4)(x - 16) = 0\]
Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 16\).

Подставим найденные значения \(x\) в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
Для \(x = 4\): \(y = 5 \cdot 4 - 16 = 20 - 16 = 4\) Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты (4, 4).
Для \(x = 16\): \(y = 5 \cdot 16 - 16 = 80 - 16 = 64\) Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты (16, 64).

Итак, точки пересечения параболы \(y = \frac{1}{4}x^2\) и прямой \(y = 5x - 16\) равны (4, 4) и (16, 64).

4. Построение графика функции \(y = 2 - (x + 3)^2\):
Чтобы построить график этой функции, мы можем использовать свойства параболы и шаблон параболы.

Шаблон параболы \(y = (x - h)^2 + k\) имеет вершину в точке \((h, k)\). В данном случае, мы имеем сдвиг по горизонтали (на 3 влево) и сдвиг по вертикали (вниз на 2).

Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке \((-3, 2)\).

Теперь мы можем построить график, используя эту информацию.