1. Постройте граф отношения равенства на множестве дробей {3/4, 1/5, 9/12, 5/25, 12/6}. Какие особенности связаны

1. Для построения графа отношения равенства на множестве дробей {3/4, 1/5, 9/12, 5/25, 12/6} нужно сравнить каждую дробь с каждой и установить, равны они или нет.

Построим граф отношения равенства:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& \frac{3}{4} & \leftrightarrow & \frac{1}{5} & \leftrightarrow & \frac{9}{12} & \leftrightarrow & \frac{5}{25} & \leftrightarrow & \frac{12}{6} \\
\end{array}
\]

В данном графе каждая дробь связана с другими дробями, так как они все равны между собой. Все дроби имеют разные числители и знаменатели, но при сравнении они оказываются равными. Таким образом, особенность данного графа заключается в том, что все дроби равны друг другу, несмотря на различные числители и знаменатели.

2. Для нахождения дробей с наименьшим общим знаменателем нужно воспользоваться методом нахождения общего знаменателя. Общий знаменатель будет являться наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей.

а) Дроби 1/3 и 1/102. Знаменатели - 3 и 102. Найдем их наименьшее общее кратное:

Общее кратное: 3 * 102 = 306

Таким образом, общий знаменатель для дробей 1/3 и 1/102 равен 306. Переведем дроби в соответствующие десятичные значения:

1/3 = 0.33333...
1/102 ≈ 0.00980

б) Дроби 7/16 и 5/844. Знаменатели - 16 и 844. Найдем их наименьшее общее кратное:

Общее кратное: 16 * 844 = 13504

Таким образом, общий знаменатель для дробей 7/16 и 5/844 равен 13504. Переведем дроби в соответствующие десятичные значения:

7/16 ≈ 0.4375
5/844 ≈ 0.00592

в) Дроби 15/171 и 23/270. Знаменатели - 171 и 270. Найдем их наименьшее общее кратное:

Общее кратное: 171 * 270 = 46170

Таким образом, общий знаменатель для дробей 15/171 и 23/270 равен 46170. Переведем дроби в соответствующие десятичные значения:

15/171 ≈ 0.08772
23/270 ≈ 0.08519

3. Для нахождения несократимой дроби, равной данным дробям, нужно сократить их общие делители, если они есть.

а) Дробь 108/144. Найдем их наибольший общий делитель:

Наибольший общий делитель (НОД) для 108 и 144 равен 36.

Для получения несократимой дроби нужно разделить числитель и знаменатель на НОД:

\(\frac{108}{144} = \frac{108 ÷ 36}{144 ÷ 36} = \frac{3}{4}\)

б) Дробь 402/455. Найдем их наибольший общий делитель:

Наибольший общий делитель (НОД) для 402 и 455 равен 1.

Дробь 402/455 уже является несократимой, так как НОД у них равен 1.

в) Дробь 780/2730. Найдем их наибольший общий делитель:

Наибольший общий делитель (НОД) для 780 и 2730 равен 30.

Для получения несократимой дроби нужно разделить числитель и знаменатель на НОД:

\(\frac{780}{2730} = \frac{780 ÷ 30}{2730 ÷ 30} = \frac{26}{91}\)

г) Дробь \(45 \cdot 56 + \frac{45 \cdot 14}{70 \cdot 72}\). Выполним вычисления:

\(45 \cdot 56 + \frac{45 \cdot 14}{70 \cdot 72} = 2520 + \frac{630}{5040} = 2520 + \frac{1}{8} = \frac{2520 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{20161}{8}\)

Необходимо сократить дробь. Найдем их наибольший общий делитель:

Наибольший общий делитель (НОД) для 20161 и 8 равен 1.

Дробь \(\frac{20161}{8}\) уже является несократимой, так как НОД у них равен 1.

д) Дробь \(38 \cdot 53 - \frac{38 \cdot 25}{19 \cdot 42}\). Выполним вычисления:

\(38 \cdot 53 - \frac{38 \cdot 25}{19 \cdot 42} = 2014 - \frac{950}{798} = 2014 - \frac{50}{42} = 2014 - \frac{25}{21} = \frac{2014 \cdot 21 - 25}{21} = \frac{42259}{21}\)

Необходимо сократить дробь. Найдем их наибольший общий делитель:

Наибольший общий делитель (НОД) для 42259 и 21 равен 1.

Дробь \(\frac{42259}{21}\) уже является несократимой, так как НОД у них равен 1.

4. Выберем единицу длины и построим отрезок, длина которого представлена дробью:

а) Дробь 15/4. Построим отрезок длины 15/4 длиной единичный отрезок:

\includegraphics[scale=0.8]{15_4}

Переведем дробь в десятичное значение: 15/4 = 3.75. Таким образом, отрезок будет иметь длину, равную 3.75 единицы длины.

б) Дробь 17/3. Построим отрезок длины 17/3 длиной единичный отрезок:

\includegraphics[scale=0.8]{17_3}

Переведем дробь в десятичное значение: 17/3 ≈ 5.66667. Таким образом, отрезок будет иметь длину, приблизительно равную 5.66667 единицы длины.