1. Подтвердите, что сторона BC параллельна плоскости альфа, если середины отрезков CD и BD лежат в данной плоскости

знака параллельности и ∧ для обозначения знака перпендикулярности).

1. Пусть середины отрезков CD и BD обозначены точками M и N соответственно. Для доказательства того, что сторона BC параллельна плоскости альфа, но не лежит в этой плоскости, рассмотрим два случая:

- Случай 1: Если сторона BC не лежит в плоскости альфа, то линия, проходящая через точки B и C, будет пересекать альфа в некоторой точке P. Рассмотрим треугольники BMP и CMP, где M - середина отрезка CD, P - точка пересечения линии BC и плоскости альфа. Для того чтобы сторона BC была параллельна альфа, треугольники BMP и CMP должны быть равнобедренными и равных размеров (по двум сторонам). Но по условию, точка M - середина отрезка CD, лежащая в плоскости альфа. Поэтому треугольники BMP и CMP равнобедренные и равных размеров, а значит сторона BC параллельна альфа.

- Случай 2: Если сторона BC лежит в плоскости альфа, то плоскость, проходящая через точки B, C и плоскость альфа, будут иметь общую прямую AB. Рассмотрим треугольники ABM и ACM, где M - середина отрезка CD. Так как сторона BC лежит в плоскости альфа, альфа будет пересекать плоскость ABC, а значит будет иметь общую прямую AB. Значит треугольники ABM и ACM будут равнобедренными и равных размеров, а сторона BC параллельна плоскости альфа.

2. Чтобы доказать, что прямые AB и KM пересекаются, если KM параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости (ABC), рассмотрим следующие утверждения:

- Утверждение 1: Параллельные прямые, пересекающиеся со стороной параллелограмма, будут пересекать и другую сторону этого параллелограмма.
Данное утверждение является свойством параллелограмма, и следовательно, прямые AB и KM, пересекая сторону BC параллелограмма ABCD, будут пересекать и противоположную сторону AD.

- Утверждение 2: Прямые AB и KM имеют общую точку пересечения, которая будет находиться на противоположной стороне параллелограмма ABCD относительно стороны BC.
Учитывая, что KM параллельна стороне BC, она будет пересекать сторону параллелограмма AB, и таким образом образовывать новую точку K". Точки K" и M будут лежать на стороне AB, а следовательно, прямые AB и KM будут иметь общую точку пересечения K", которая будет находиться на стороне AB параллелограмма ABCD.

- Утверждение 3: Угол между прямыми AB и KM можно найти, зная значение угла ABC.
Рассмотрим угол ABC. Как мы уже знаем, KM параллельна стороне BC, поэтому угол BKM также будет равен углу ABC.
Таким образом, угол между прямыми AB и KM будет равен углу ABC.

3. Чтобы доказать, что точки A, B, C и D, не лежащие в одной плоскости, не могут быть выстроены в одну прямую линию, воспользуемся аксиомой о трех несовпадающих точках:

Аксиома: Через три несовпадающие точки проходит одна и только одна плоскость.

Рассмотрим четыре точки: A, B, C и D. Пусть A, B и D лежат на одной прямой линии. В соответствии с аксиомой о трех несовпадающих точках, через точки A, B и D проходит плоскость P1. Также, в силу этой аксиомы, через точки B, C и D проходит плоскость P2. Но, поскольку точка A не лежит в плоскости P2, а только на прямой линии, составленной точками B и D, то плоскости P1 и P2 не совпадают.

Таким образом, точки A, B, C и D, не лежащие в одной плоскости, не могут быть выстроены в одну прямую линию.

Надеюсь, это понятно и полезно для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.