А) Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 4 и 5? б) Если размеры прямоугольного

А) Для определения длины диагонали прямоугольного параллелепипеда, мы должны использовать теорему Пифагора. Эта теорема гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В данном случае, гипотенузой будет длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, а катетами - его стороны.

Таким образом, мы можем записать уравнение:
\[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\]
где \(d\) - длина диагонали, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны прямоугольного параллелепипеда.

Подставляя значения сторон вместо переменных, получаем:
\[d^2 = 1^2 + 4^2 + 5^2\]
\[d^2 = 1 + 16 + 25\]
\[d^2 = 42\]

Теперь найдем квадратный корень из полученного значения:
\[d = \sqrt{42}\]

Значит, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 4 и 5 равна \(\sqrt{42}\) (в приближенном виде это примерно 6.48).

б) Мы можем использовать формулу для объема прямоугольного параллелепипеда, чтобы найти неизвестный размер. Формула гласит:
\[V = abc\]
где \(V\) - объем, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны прямоугольного параллелепипеда.

Подставляя значения объема и известных сторон в уравнение, получаем:
\[24 = 3 \cdot a \cdot 2 \cdot a \cdot 2\]
\[24 = 12a^2\]

Теперь решим полученное уравнение для неизвестного размера \(a\):
\[a^2 = \frac{24}{12}\]
\[a^2 = 2\]
\[a = \sqrt{2}\]

Таким образом, неизвестный размер прямоугольного параллелепипеда равен \(\sqrt{2}\).

в) Косинус угла между плоскостью \(a\) и треугольником можно найти, используя площади параллелограмма и его проекции на плоскость \(a\).

Для начала, найдем высоту параллелограмма. Обозначим высоту как \(h\). У нас есть формула для нахождения площади параллелограмма через его высоту:
\[S = bh\]
где \(S\) - площадь параллелограмма, \(b\) - основание параллелограмма, \(h\) - высота параллелограмма.

Мы знаем, что площадь параллелограмма равна 28 и проекции на плоскость \(a\) равна \(4\sqrt{5}\). Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[28 = 2bh\]
\[4\sqrt{5} = bh\]

Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения основания \(b\) и высоты \(h\).

Разделим уравнения, чтобы избавиться от \(b\):
\[\frac{28}{4\sqrt{5}} = \frac{2bh}{bh}\]
\[\frac{7}{\sqrt{5}} = 2\]

Теперь найдем высоту:
\[h = \frac{4\sqrt{5}}{b}\]
\[h = \frac{4\sqrt{5}}{2}\]
\[h = 2\sqrt{5}\]

Итак, высота параллелограмма равна \(2\sqrt{5}\).

Наконец, чтобы найти косинус угла между плоскостью \(a\) и треугольником, мы можем использовать соотношение между площадью треугольника и площадью его проекции:
\[\cos{\theta} = \frac{S_{\text{проекция}}}{S_{\text{треугольник}}}\]

Подставим известные значения:
\[\cos{\theta} = \frac{4\sqrt{5}}{28}\]
\[\cos{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{7}\]

Таким образом, косинус угла между плоскостью \(a\) и треугольником равен \(\frac{\sqrt{5}}{7}\).

3) Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать свойство ортогональной проекции. Если ортогональная проекция равностороннего треугольника является прямоугольным треугольником, то высота треугольника будет равна половине высоты прямоугольного треугольника.

Значит, чтобы найти высоту треугольника, нам необходимо найти высоту прямоугольного треугольника. Мы знаем, что сторона прямоугольного треугольника равна 4 см, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты:
\[h = \sqrt{4^2 - (2^2)^2}\]
\[h = \sqrt{16 - 4}\]
\[h = \sqrt{12}\]
\[h = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, высота прямоугольного треугольника и треугольника равна \(2\sqrt{3}\) см.